Gravità — legge di gravitazione universale di Newton

La gravità significa che due masse qualsiasi si attraggono a vicenda. Nella fisica newtoniana, questa attrazione è modellata da

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Se una massa aumenta, la forza aumenta. Se la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto. Qui $m_1$ e $m_2$ sono le masse, $r$ è la distanza centro-centro, e $G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ è la costante gravitazionale.

Quando si applica la legge di gravitazione di Newton

Questa formula è esatta per masse puntiformi. Funziona anche per corpi sfericamente simmetrici, come pianeti idealizzati, se ti trovi all'esterno del corpo.

In questa condizione, il corpo si comporta come se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro. Se la distribuzione di massa è irregolare, una singola formula diretta potrebbe non bastare.

Che cosa significa il termine inverso del quadrato

Il termine $1/r^2$ è la parte che gli studenti di solito devono capire davvero, non solo memorizzare. La distanza conta più di quanto molti lettori alla prima lettura si aspettino.

Se la distanza raddoppia, la forza diventa $1/4$ del valore iniziale. Se la distanza triplica, diventa $1/9$. Questo andamento di inverso del quadrato è l'intuizione chiave dietro la legge di gravitazione universale di Newton.

Esempio svolto: forza gravitazionale tra due oggetti

Supponi che due piccoli oggetti abbiano masse di $5\ \mathrm{kg}$ e $10\ \mathrm{kg}$, e che i loro centri siano distanti $2.0\ \mathrm{m}$.

Parti da

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Sostituisci i valori:

$$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5)(10)}{(2.0)^2}$$ $$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{50}{4} = (6.67 \times 10^{-11})(12.5)$$ $$F \approx 8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$$

Quindi la forza gravitazionale è circa $8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$.

Questa forza è estremamente piccola. Per questo la gravità tra oggetti di uso quotidiano è difficile da notare, anche se la stessa legge diventa dominante quando una delle masse è enorme, come la Terra o il Sole.

Perché il peso si scrive spesso come $W = mg$

Vicino alla superficie terrestre, il peso è la forza gravitazionale tra te e la Terra. Poiché la tua distanza dal centro della Terra cambia solo di poco rispetto al raggio terrestre, la forza si scrive spesso come

$$W = mg$$

Questa è un'approssimazione locale utile. La legge di gravitazione universale di Newton è l'idea più generale che sta alla base.

Errori comuni con le formule della gravità

• Usare la distanza tra le superfici invece della distanza centro-centro.
• Dimenticare che la formula semplice si applica direttamente a masse puntiformi, oppure a corpi sfericamente simmetrici quando ti trovi all'esterno.
• Dimenticare il quadrato su $r$ e trattare la gravità come proporzionale a $1/r$ invece che a $1/r^2$.
• Confondere $G$, la costante universale, con $g$, l'intensità del campo gravitazionale locale vicino alla Terra.

Dove si usa la legge di gravitazione di Newton

La legge di gravitazione universale di Newton si usa per modellare la caduta degli oggetti, il moto dei satelliti, le orbite planetarie e il legame tra massa e peso. In molti problemi introduttivi, si collega anche direttamente al moto circolare perché il moto orbitale richiede una forza centripeta.

La legge è particolarmente utile perché collega la gravità ordinaria sulla Terra al moto nello spazio con un unico quadro teorico.

Prova un problema simile sulla gravità

Mantieni le stesse masse, ma cambia la distanza da $2.0\ \mathrm{m}$ a $4.0\ \mathrm{m}$. Prevedi il risultato prima di calcolarlo. Se l'idea dell'inverso del quadrato è chiara, la nuova forza dovrebbe essere un quarto di quella iniziale. Se vuoi controllare l'impostazione di un'altra domanda sulla gravità, GPAI Solver può guidarti passo dopo passo in un problema simile.