Βαρύτητα — Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα

Η βαρύτητα σημαίνει ότι οποιεσδήποτε δύο μάζες έλκουν η μία την άλλη. Στη νευτώνεια φυσική, αυτή η έλξη περιγράφεται από

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Αν η μία μάζα μεγαλώσει, η δύναμη μεγαλώνει. Αν η απόσταση διπλασιαστεί, η δύναμη γίνεται ίση με το ένα τέταρτο. Εδώ τα $m_1$ και $m_2$ είναι οι μάζες, το $r$ είναι η απόσταση κέντρου προς κέντρο και το $G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ είναι η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας.

Πότε εφαρμόζεται ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα

Αυτός ο τύπος είναι ακριβής για σημειακές μάζες. Ισχύει επίσης για σφαιρικά συμμετρικά σώματα, όπως ιδανικοποιημένοι πλανήτες, αν βρίσκεσαι έξω από το σώμα.

Σε αυτή την περίπτωση, το σώμα συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο του. Αν η κατανομή της μάζας είναι ακανόνιστη, ένας απλός τύπος άμεσης αντικατάστασης μπορεί να μην αρκεί.

Τι σημαίνει ο όρος αντιστρόφου τετραγώνου

Ο όρος $1/r^2$ είναι το σημείο που οι μαθητές συνήθως χρειάζεται να κατανοήσουν πραγματικά, όχι απλώς να απομνημονεύσουν. Η απόσταση παίζει μεγαλύτερο ρόλο απ’ όσο περιμένουν πολλοί όταν το βλέπουν πρώτη φορά.

Αν η απόσταση διπλασιαστεί, η δύναμη γίνεται $1/4$ της αρχικής τιμής. Αν η απόσταση τριπλασιαστεί, γίνεται $1/9$. Αυτό το μοτίβο αντιστρόφου τετραγώνου είναι η βασική διαίσθηση πίσω από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα.

Λυμένο παράδειγμα: βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε δύο αντικείμενα

Έστω ότι δύο μικρά αντικείμενα έχουν μάζες $5\ \mathrm{kg}$ και $10\ \mathrm{kg}$ και τα κέντρα τους απέχουν $2.0\ \mathrm{m}$.

Ξεκινάμε από

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

$$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5)(10)}{(2.0)^2}$$ $$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{50}{4} = (6.67 \times 10^{-11})(12.5)$$ $$F \approx 8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$$

Άρα η βαρυτική δύναμη είναι περίπου $8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$.

Αυτή η δύναμη είναι εξαιρετικά μικρή. Γι’ αυτό η βαρύτητα ανάμεσα σε καθημερινά αντικείμενα είναι δύσκολο να γίνει αντιληπτή, παρόλο που ο ίδιος νόμος γίνεται κυρίαρχος όταν μία από τις μάζες είναι τεράστια, όπως η Γη ή ο Ήλιος.

Γιατί το βάρος γράφεται συχνά ως $W = mg$

Κοντά στην επιφάνεια της Γης, το βάρος είναι η βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε εσένα και τη Γη. Επειδή η απόστασή σου από το κέντρο της Γης αλλάζει πολύ λίγο σε σύγκριση με την ακτίνα της Γης, η δύναμη συχνά γράφεται ως

$$W = mg$$

Αυτή είναι μια χρήσιμη τοπική προσέγγιση. Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα είναι η πιο γενική ιδέα που βρίσκεται από κάτω.

Συνηθισμένα λάθη με τους τύπους της βαρύτητας

• Χρήση της απόστασης από επιφάνεια σε επιφάνεια αντί για την απόσταση κέντρου προς κέντρο.
• Παράβλεψη ότι ο απλός τύπος εφαρμόζεται άμεσα σε σημειακές μάζες ή σε σφαιρικά συμμετρικά σώματα όταν βρίσκεσαι έξω από αυτά.
• Παράλειψη του τετραγώνου στο $r$ και αντιμετώπιση της βαρύτητας ως ανάλογης του $1/r$ αντί του $1/r^2$.
• Σύγχυση του $G$, της παγκόσμιας σταθεράς, με το $g$, την τοπική ένταση του βαρυτικού πεδίου κοντά στη Γη.

Πού χρησιμοποιείται ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα

Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση της πτώσης σωμάτων, της κίνησης δορυφόρων, των πλανητικών τροχιών και της σχέσης ανάμεσα στη μάζα και το βάρος. Σε πολλά εισαγωγικά προβλήματα, συνδέεται επίσης άμεσα με την κυκλική κίνηση, επειδή η τροχιακή κίνηση χρειάζεται κεντρομόλο δύναμη.

Ο νόμος είναι ιδιαίτερα χρήσιμος επειδή ενώνει τη συνηθισμένη βαρύτητα στη Γη με την κίνηση στο διάστημα μέσα σε ένα ενιαίο πλαίσιο.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα βαρύτητας

Κράτησε τις ίδιες μάζες, αλλά άλλαξε την απόσταση από $2.0\ \mathrm{m}$ σε $4.0\ \mathrm{m}$. Προέβλεψε το αποτέλεσμα πριν το υπολογίσεις. Αν η ιδέα του αντιστρόφου τετραγώνου είναι ξεκάθαρη, η νέα δύναμη πρέπει να είναι ίση με το ένα τέταρτο της αρχικής. Αν θέλεις να ελέγξεις το στήσιμό σου σε μια άλλη άσκηση βαρύτητας, το GPAI Solver μπορεί να σε καθοδηγήσει βήμα προς βήμα σε ένα παρόμοιο πρόβλημα.