Grawitacja — prawo powszechnego ciążenia Newtona

Grawitacja oznacza, że dowolne dwie masy przyciągają się wzajemnie. W fizyce newtonowskiej to przyciąganie opisuje wzór

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Jeśli jedna z mas rośnie, siła rośnie. Jeśli odległość się podwaja, siła staje się czterokrotnie mniejsza. Tutaj $m_1$ i $m_2$ to masy, $r$ to odległość między środkami, a $G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ to stała grawitacji.

Kiedy stosuje się prawo grawitacji Newtona

Ten wzór jest dokładny dla mas punktowych. Działa też dla ciał o symetrii sferycznej, takich jak wyidealizowane planety, jeśli znajdujesz się na zewnątrz ciała.

W takim przypadku ciało zachowuje się tak, jakby cała jego masa była skupiona w środku. Jeśli rozkład masy jest nieregularny, jeden prosty wzór podstawieniowy może nie wystarczyć.

Co oznacza wyrażenie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości

Wyrażenie $1/r^2$ to część, którą uczniowie zwykle muszą naprawdę zrozumieć, a nie tylko zapamiętać. Odległość ma większe znaczenie, niż wielu początkujących czytelników się spodziewa.

Jeśli odległość się podwaja, siła staje się równa $1/4$ wartości początkowej. Jeśli odległość się potraja, staje się równa $1/9$. Ten schemat odwrotnej proporcjonalności do kwadratu jest kluczową intuicją stojącą za prawem powszechnego ciążenia Newtona.

Przykład obliczeniowy: siła grawitacji między dwoma obiektami

Załóżmy, że dwa małe obiekty mają masy $5\ \mathrm{kg}$ i $10\ \mathrm{kg}$, a odległość między ich środkami wynosi $2.0\ \mathrm{m}$.

Zacznij od

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Podstaw wartości:

$$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5)(10)}{(2.0)^2}$$ $$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{50}{4} = (6.67 \times 10^{-11})(12.5)$$ $$F \approx 8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$$

Zatem siła grawitacji wynosi około $8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$.

Ta siła jest niezwykle mała. Dlatego grawitację między codziennymi obiektami trudno zauważyć, mimo że to samo prawo staje się dominujące, gdy jedna z mas jest ogromna, jak Ziemia albo Słońce.

Dlaczego ciężar często zapisuje się jako $W = mg$

Blisko powierzchni Ziemi ciężar to siła grawitacji między tobą a Ziemią. Ponieważ twoja odległość od środka Ziemi zmienia się tylko nieznacznie w porównaniu z promieniem Ziemi, siłę często zapisuje się jako

$$W = mg$$

To użyteczne lokalne przybliżenie. Bardziej ogólną ideą, która za nim stoi, jest prawo powszechnego ciążenia Newtona.

Typowe błędy we wzorach na grawitację

• Używanie odległości między powierzchniami zamiast odległości między środkami.
• Zapominanie, że prosty wzór stosuje się bezpośrednio do mas punktowych albo do ciał o symetrii sferycznej, gdy znajdujesz się na zewnątrz nich.
• Pomijanie kwadratu przy $r$ i traktowanie grawitacji jako proporcjonalnej do $1/r$ zamiast do $1/r^2$.
• Mylenie $G$, stałej uniwersalnej, z $g$, lokalnym natężeniem pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi.

Gdzie stosuje się prawo grawitacji Newtona

Prawo powszechnego ciążenia Newtona służy do opisu spadających obiektów, ruchu satelitów, orbit planetarnych oraz związku między masą a ciężarem. W wielu zadaniach wprowadzających łączy się też bezpośrednio z ruchem po okręgu, ponieważ ruch orbitalny wymaga siły dośrodkowej.

To prawo jest szczególnie użyteczne, ponieważ łączy zwykłą grawitację na Ziemi z ruchem w przestrzeni kosmicznej w ramach jednego modelu.

Spróbuj podobnego zadania z grawitacji

Zachowaj te same masy, ale zmień odległość z $2.0\ \mathrm{m}$ na $4.0\ \mathrm{m}$. Przewidź wynik przed wykonaniem obliczeń. Jeśli idea odwrotnej proporcjonalności do kwadratu jest jasna, nowa siła powinna być równa jednej czwartej wartości początkowej. Jeśli chcesz sprawdzić swoje rozwiązanie innego zadania z grawitacji, GPAI Solver może przeprowadzić cię krok po kroku przez podobny problem.