重力 — ニュートンの万有引力の法則

重力とは、任意の2つの質量が互いに引き合うことです。ニュートン力学では、その引く力は次の式で表されます。

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

一方の質量が大きくなると、力も大きくなります。距離が2倍になると、力は4分の1になります。ここで $m_1$ と $m_2$ は質量、$r$ は中心間距離、$G \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ は万有引力定数です。

ニュートンの重力の法則が成り立つとき

この式は点質量に対しては厳密に成り立ちます。また、理想化した惑星のような球対称な物体についても、その物体の外側にいるなら使えます。

この条件では、その物体は全質量が中心に集中しているかのようにふるまいます。質量分布が不規則な場合は、単純に1つの式へ代入するだけでは足りないことがあります。

逆二乗の項が意味すること

$1/r^2$ の項は、ただ暗記するだけでなく感覚としてつかむことが大切な部分です。距離は、初めて学ぶ人が思う以上に大きく効きます。

距離が2倍になると、力は元の $1/4$ になります。距離が3倍になると、$1/9$ になります。この逆二乗のパターンこそが、ニュートンの万有引力の法則を理解するうえでの重要な直感です。

計算例：2つの物体の間にはたらく重力

2つの小さな物体の質量がそれぞれ $5\ \mathrm{kg}$ と $10\ \mathrm{kg}$ で、中心間距離が $2.0\ \mathrm{m}$ だとします。

まず次の式を使います。

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

値を代入すると、

$$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5)(10)}{(2.0)^2}$$ $$F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{50}{4} = (6.67 \times 10^{-11})(12.5)$$ $$F \approx 8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$$

したがって、重力の大きさは約 $8.34 \times 10^{-10}\ \mathrm{N}$ です。

この力は非常に小さい値です。だからこそ、日常の物体どうしの重力は気づきにくいのです。一方で、地球や太陽のように一方の質量が非常に大きいと、同じ法則が支配的になります。

重さがしばしば $W = mg$ と書かれる理由

地表付近では、重さはあなたと地球の間にはたらく重力です。地球の半径に比べると、地球の中心からあなたまでの距離の変化はごく小さいので、力はしばしば次のように書かれます。

$$W = mg$$

これは局所的に使える便利な近似です。その背後にある、より一般的な考え方がニュートンの万有引力の法則です。

重力の式でよくある間違い

• 表面どうしのすき間を使ってしまい、中心間距離を使わない。
• 単純な式が点質量、または球対称な物体の外側で直接使えることを見落とす。
• $r$ の2乗を落としてしまい、重力を $1/r^2$ ではなく $1/r$ に比例すると考えてしまう。
• 普遍定数である $G$ と、地表付近の重力場の強さである $g$ を混同する。

ニュートンの万有引力の法則はどこで使われるか

ニュートンの万有引力の法則は、落下する物体、人工衛星の運動、惑星の軌道、そして質量と重さの関係をモデル化するのに使われます。多くの初歩的な問題では、軌道運動に向心力が必要なため、円運動とも直接つながります。

この法則が特に有用なのは、地上でのふつうの重力と宇宙での運動を、1つの枠組みで結びつけられるからです。

似た重力の問題に挑戦してみよう

質量は同じままで、距離を $2.0\ \mathrm{m}$ から $4.0\ \mathrm{m}$ に変えてみましょう。計算する前に結果を予想してみてください。逆二乗の考え方がはっきりしていれば、新しい力は元の4分の1になるはずです。別の重力の問題で式の立て方を確認したいなら、GPAI Solver が似た問題を段階的に説明してくれます。