功、能量与功率——公式与例题

在物理学中，功、能量和功率描述的是同一件事的不同方面。功是力在位移过程中传递的能量，能量表示系统能够发生多大变化，而功率表示这种传递发生得有多快。

如果你只记住一个区别，就记这个：功是“传递”，能量是“多少”，功率是“快慢”。仅凭这一点，就能避免大多数初学者常犯的错误。

功、能量与功率的公式

对于沿位移作用的恒力，

$$W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = Fd\cos\theta$$

这里，$\theta$ 是力与位移之间的夹角。如果力的方向与运动方向相同，功为正。若方向与运动相反，功为负。若力始终与运动垂直，功为零。

在力学中，两个常见的能量公式是

$$K = \frac{1}{2}mv^2$$

以及在地球表面附近，

$$\Delta U_g = mg\Delta h$$

第一个是动能。第二个是重力势能的变化量。势能的参考零点可以自行选取，但在大多数题目中，真正重要的是变化量 $\Delta U_g$。

平均功率为

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t}$$

在某一瞬间，力所提供的机械功率为

$$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

这个瞬时形式只有在你讨论同一时刻的力和速度时才适用。

功、能量与功率之间的关系

功是连接力与能量的桥梁。如果物体所受合功为正，它的动能增加。若合功为负，它的动能减小。

功率本身并不告诉你能量变化了多少。它告诉你这种变化发生得有多快。两台机器可以做相同的功，但用时更短的那台功率更大。

用符号表示，这个动能关系就是功—能定理：

$$W_{net} = \Delta K$$

这里说的是合功，而不是某一个单独的力所做的功。

例题：把背包提起来

假设你将一个 $10\,\mathrm{kg}$ 的背包竖直向上提起 $2\,\mathrm{m}$，用时 $4\,\mathrm{s}$，并且速度大致保持不变。

由于速度近似恒定，你施加的向上拉力近似等于背包的重力：

$$F \approx mg = (10)(9.8) = 98\,\mathrm{N}$$

力和位移方向相同，因此 $\theta = 0$，且 $\cos\theta = 1$。你对背包所做的功为

$$W_{you} = Fd = (98)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

这次提升也使背包的重力势能增加了

$$\Delta U_g = mg\Delta h = (10)(9.8)(2) = 196\,\mathrm{J}$$

所以在这个例子中，你所做的功转化为了重力势能。

现在计算平均功率：

$$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{196}{4} = 49\,\mathrm{W}$$

背包获得了 $196\,\mathrm{J}$ 的重力势能，而你以平均 $49\,\mathrm{J/s}$ 的速率传递了这部分能量，也就是 $49\,\mathrm{W}$。

这里还有一个细节很重要。背包所受合功近似为零，因为你做的正功被重力做的负功抵消了。这与背包几乎做匀速运动是一致的，因此它的动能变化很小。

功、能量与功率题中的常见错误

• 当力的方向不沿位移方向时，仍直接使用 $W = Fd$。如果存在夹角，恒力做功的正确形式是 $W = Fd\cos\theta$。
• 把能量和功率混淆。能量回答“多少”，功率回答“多快”。
• 忘记公式背后的适用条件。例如，$W = Fd\cos\theta$ 是恒力情况下的简化形式，而 $\Delta U_g = mg\Delta h$ 是地球表面附近的近似公式。
• 认为做正功就一定意味着速度增大。决定动能变化的是合功。
• 把瓦特和焦耳当成同一种单位。焦耳是能量单位；瓦特是焦耳每秒。

功、能量与功率用在哪里

只要你同时关心力、运动和能量传递，这些概念就会出现。常见情形包括提起物体、刹车、电动机、爬楼梯、物体下落以及机器效率。

在课堂物理中，这一主题也是学习功—能定理以及许多能量守恒问题的基础。一旦你弄清题目真正问的是哪个物理量，列式通常就会简洁得多。

快速判断：题目到底要求哪个量？

问自己这三个问题：

1. 题目是在问力传递了多少能量吗？用功。
2. 题目是在问储存的能量，或运动/位置能量的变化吗？用能量方程。
3. 题目是在问这种传递发生得有多快吗？用功率。

在代数计算开始之前，这样检查一下就能避免大多数混淆。

试试一道类似的题

你可以把背包例题改成自己的版本：仍然把同一个背包提升到相同高度，但用时改为 $2\,\mathrm{s}$ 而不是 $4\,\mathrm{s}$。功和能量变化保持不变，但平均功率不会相同。自己算一算，再和原来的结果比较。