动量守恒——弹性碰撞与非弹性碰撞

动量守恒是指：如果一个系统所受的外部总冲量为零，或在你关心的时间区间内可以忽略，那么这个系统的总动量保持不变。在碰撞问题中，这条规律把碰撞前的运动状态和碰撞后的运动状态联系起来。

动量是矢量。对于普通力学入门中质量恒定的物体，它的动量为

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

因为动量有方向，所以符号或矢量方向非常重要。在一维问题中，通常规定向右为正，向左为负。

动量守恒在碰撞中意味着什么

动量并不是对每一个单独物体都自动守恒。只有当系统所受外部总冲量可以忽略时，整个系统的总动量才守恒。

这个条件很关键。在短暂碰撞过程中，碰撞物体之间的作用力可能非常大，但如果两个物体都属于同一个系统，那么这些力就是内力。内力可以在物体之间重新分配动量，但不会改变总动量。

对于一维中的两个物体系统，动量关系写成

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

当系统在碰撞时间内足够接近孤立系统时，这个方程成立。

弹性碰撞与非弹性碰撞

关键区别不在于动量是否守恒。对于孤立系统，这两种碰撞中动量都守恒。

弹性碰撞还满足动能守恒：

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

非弹性碰撞不满足总动能守恒，尽管总动量仍然守恒。

完全非弹性碰撞是其中一种特殊情况：碰撞后两个物体粘在一起。此时它们具有相同的末速度。

例题：完全非弹性碰撞

一辆质量为 $2\ \mathrm{kg}$ 的小车以 $4\ \mathrm{m/s}$ 的速度向右运动，与一辆静止的 $1\ \mathrm{kg}$ 小车发生碰撞。碰撞后两辆小车粘在一起。求它们的末速度。

这是一次完全非弹性碰撞，所以动量守恒，并且两辆小车具有相同的末速度 $v_f$。

碰撞前，

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

碰撞后，总质量为 $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$，所以

$$p_f = (3)v_f$$

令初动量等于末动量：

$$8 = 3v_f$$

所以末速度为

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

也就是向右约 $2.67\ \mathrm{m/s}$。

现在比较碰撞前后的动能：

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

总动量保持不变，但动能减小了。这正是完全非弹性碰撞中应当出现的结果。

为什么非弹性碰撞中的动能会减少

在非弹性碰撞中，一部分动能会转化为其他形式的能量，比如热能、声能或物体内部形变所对应的能量。这并不违背动量守恒。

常见错误是认为只要一个物理量守恒，其他熟悉的物理量也一定保持不变。实际上，不同的守恒定律有不同的适用条件，也对应不同的物理量。

动量题中的常见错误

把动量当成普通数字

动量有方向。在一维中，先规定正负号是必不可少的。在二维或三维中，必须按各个分量分别应用动量守恒。

忘记先定义系统

如果你只跟踪碰撞中的一个物体，它的动量通常会发生变化。守恒定律适用于孤立系统的总动量，不一定适用于每个单独物体。

对所有碰撞都使用动能守恒

这只对弹性碰撞成立。对于非弹性碰撞，应先使用动量守恒，再加入真正适用的其他条件。

忽略外部冲量

如果在所分析的时间区间内外力不可忽略，那么你所选系统的总动量就不一定保持不变。系统近似孤立这一条件是规律本身的一部分，不是可有可无的细节。

动量守恒有哪些应用

动量守恒用于碰撞分析、反冲问题、爆炸问题、粒子相互作用以及许多小车实验。这个原理还能帮助你理解：为什么枪会后坐，为什么台球会交换运动状态，以及为什么两个粘在一起的物体碰后速度会比原来较快的那个物体更慢。

试试一道类似的动量题

保持质量不变，但让第二辆小车在碰撞前向左运动，然后用负号重新计算系统的初始总动量。如果你想用不同数据自己出一道题，也可以用 GPAI Solver 解一个类似的碰撞问题。