Conservação da Quantidade de Movimento — Colisões Elásticas e Inelásticas

Conservação da quantidade de movimento significa que a quantidade de movimento total de um sistema permanece constante se o impulso externo resultante sobre esse sistema for zero ou desprezível no intervalo de tempo analisado. Em problemas de colisão, essa é a regra que relaciona o movimento antes do impacto ao movimento depois do impacto.

A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial. Para um objeto com massa constante na mecânica introdutória usual, sua quantidade de movimento é

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Como a quantidade de movimento tem direção, os sinais ou direções vetoriais importam. Em um problema unidimensional, o movimento para a direita costuma ser considerado positivo e o movimento para a esquerda, negativo.

O Que Significa a Conservação da Quantidade de Movimento em Colisões

A quantidade de movimento não é automaticamente conservada para cada objeto isoladamente. Ela é conservada para o sistema total quando o impulso externo resultante sobre esse sistema é desprezível.

Essa condição é importante. Durante uma colisão curta, as forças entre os objetos que colidem podem ser muito grandes, mas essas são forças internas se ambos os objetos fizerem parte do mesmo sistema. Forças internas podem redistribuir a quantidade de movimento entre os objetos sem alterar o total.

Para um sistema de dois objetos em uma dimensão, a relação da quantidade de movimento é

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

Essa equação é válida quando o sistema está suficientemente isolado durante o intervalo da colisão.

Colisões Elásticas Vs Inelásticas

A diferença principal não é se a quantidade de movimento é conservada. Em um sistema isolado, ela é conservada em ambos os casos.

Uma colisão elástica também conserva a energia cinética:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

Uma colisão inelástica não conserva a energia cinética total, embora a quantidade de movimento total continue sendo conservada.

Uma colisão perfeitamente inelástica é o caso especial em que os objetos ficam grudados após o impacto. Então eles passam a ter uma única velocidade final.

Exemplo Resolvido: Uma Colisão Perfeitamente Inelástica

Um carrinho de $2\ \mathrm{kg}$ move-se para a direita a $4\ \mathrm{m/s}$ e colide com um carrinho de $1\ \mathrm{kg}$ em repouso. Após a colisão, os carrinhos ficam grudados. Encontre a velocidade final deles.

Esta é uma colisão perfeitamente inelástica, então a quantidade de movimento é conservada e ambos os carrinhos têm a mesma velocidade final $v_f$.

Antes da colisão,

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Depois da colisão, a massa combinada é $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, então

$$p_f = (3)v_f$$

Iguale a quantidade de movimento inicial e final:

$$8 = 3v_f$$

Logo, a velocidade final é

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

Isso dá aproximadamente $2.67\ \mathrm{m/s}$ para a direita.

Agora compare a energia cinética antes e depois da colisão:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

A quantidade de movimento total permanece a mesma, mas a energia cinética diminui. Isso é exatamente o que se espera em uma colisão perfeitamente inelástica.

Por Que a Energia Cinética Pode Diminuir em uma Colisão Inelástica

Em uma colisão inelástica, parte da energia cinética é transformada em outras formas, como energia térmica, som ou deformação interna. Isso não viola a conservação da quantidade de movimento.

O erro comum é supor que, se uma grandeza é conservada, então toda grandeza física familiar também deve permanecer igual. Leis de conservação têm condições diferentes e se aplicam a grandezas físicas diferentes.

Erros Comuns em Problemas de Quantidade de Movimento

Tratar a quantidade de movimento como um número comum

A quantidade de movimento tem direção. Em uma dimensão, escolher uma convenção de sinais é essencial. Em duas ou três dimensões, você deve conservar a quantidade de movimento componente por componente.

Esquecer de definir o sistema

Se você acompanha apenas um objeto em uma colisão, a quantidade de movimento dele geralmente muda. A lei de conservação se aplica à quantidade de movimento total do sistema isolado, não necessariamente a cada objeto separadamente.

Usar conservação da energia cinética em toda colisão

Isso só é válido para colisões elásticas. Para colisões inelásticas, use primeiro a conservação da quantidade de movimento e acrescente apenas as condições que realmente se aplicam.

Ignorar o impulso externo

Se forças externas forem relevantes no intervalo de tempo considerado, a quantidade de movimento total do sistema escolhido pode não permanecer constante. A condição de isolamento faz parte da regra, não é um detalhe opcional.

Onde a Conservação da Quantidade de Movimento É Usada

A conservação da quantidade de movimento é usada na análise de colisões, em problemas de recuo, explosões, interações entre partículas e muitos experimentos com carrinhos em laboratório. O mesmo princípio ajuda a entender por que uma arma recua, por que bolas de bilhar trocam movimento e por que dois objetos que ficam grudados se movem mais lentamente do que o objeto mais rápido se movia antes do impacto.

Tente um Problema Semelhante de Quantidade de Movimento

Mantenha as mesmas massas, mas faça o segundo carrinho mover-se para a esquerda antes da colisão, e então recalcule a quantidade de movimento inicial total usando sinal negativo. Se quiser testar sua própria versão com números diferentes, resolva uma colisão semelhante com GPAI Solver.