운동량 보존 — 탄성 충돌과 비탄성 충돌

운동량 보존이란, 어떤 계에 작용하는 알짜 외부 충격량이 0이거나 관심 있는 시간 구간 동안 무시할 만큼 작다면 그 계의 총운동량이 일정하게 유지된다는 뜻입니다. 충돌 문제에서는 이 법칙이 충돌 전의 운동과 충돌 후의 운동을 연결해 줍니다.

운동량은 벡터량입니다. 질량이 일정한 물체의 경우, 기초 역학에서는 운동량을 다음과 같이 씁니다.

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

운동량에는 방향이 있으므로 부호나 벡터 방향이 중요합니다. 1차원 문제에서는 보통 오른쪽 방향을 양수, 왼쪽 방향을 음수로 둡니다.

충돌에서 운동량 보존이 의미하는 것

운동량은 각 물체마다 자동으로 따로 보존되는 것이 아닙니다. 계에 작용하는 알짜 외부 충격량이 무시할 수 있을 때, 전체 계의 운동량이 보존됩니다.

이 조건은 매우 중요합니다. 짧은 충돌 동안 충돌하는 물체들 사이의 힘은 매우 클 수 있지만, 두 물체를 같은 계에 포함하면 그 힘들은 내부힘입니다. 내부힘은 물체들 사이에서 운동량을 재분배할 수는 있어도 전체 운동량 자체를 바꾸지는 못합니다.

1차원에서 두 물체로 이루어진 계에 대해 운동량 보존식은 다음과 같습니다.

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

이 식은 충돌이 일어나는 시간 동안 계가 충분히 고립되어 있을 때 성립합니다.

탄성 충돌과 비탄성 충돌

핵심 차이는 운동량이 보존되느냐가 아닙니다. 고립된 계라면 두 경우 모두 운동량은 보존됩니다.

탄성 충돌에서는 운동에너지도 함께 보존됩니다.

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

비탄성 충돌에서는 총운동량은 여전히 보존되지만, 전체 운동에너지는 보존되지 않습니다.

완전 비탄성 충돌은 충돌 후 두 물체가 서로 붙어 함께 움직이는 특별한 경우입니다. 이때 두 물체는 하나의 같은 최종 속도를 가집니다.

예제: 완전 비탄성 충돌

질량이 $2\ \mathrm{kg}$인 카트가 오른쪽으로 $4\ \mathrm{m/s}$의 속도로 움직이다가, 정지해 있던 질량 $1\ \mathrm{kg}$인 카트와 충돌합니다. 충돌 후 두 카트는 서로 붙습니다. 최종 속도를 구해 봅시다.

이 충돌은 완전 비탄성 충돌이므로 운동량은 보존되고, 두 카트의 최종 속도는 모두 $v_f$로 같습니다.

충돌 전 운동량은

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

입니다.

충돌 후에는 전체 질량이 $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$이므로,

$$p_f = (3)v_f$$

입니다.

초기 운동량과 최종 운동량을 같게 두면,

$$8 = 3v_f$$

따라서 최종 속도는

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

입니다.

즉, 오른쪽으로 약 $2.67\ \mathrm{m/s}$입니다.

이제 충돌 전후의 운동에너지를 비교해 봅시다.

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

총운동량은 같게 유지되지만 운동에너지는 감소합니다. 이것이 바로 완전 비탄성 충돌에서 기대해야 하는 결과입니다.

비탄성 충돌에서 운동에너지가 감소할 수 있는 이유

비탄성 충돌에서는 운동에너지의 일부가 열에너지, 소리, 또는 물체의 내부 변형과 같은 다른 형태의 에너지로 전환됩니다. 이것은 운동량 보존 법칙을 위반하는 것이 아닙니다.

흔한 실수는 어떤 한 물리량이 보존되면 익숙한 다른 물리량도 모두 그대로여야 한다고 생각하는 것입니다. 보존 법칙마다 성립 조건이 다르고, 적용되는 물리량도 서로 다릅니다.

운동량 문제에서 자주 하는 실수

운동량을 단순한 숫자처럼 다루기

운동량에는 방향이 있습니다. 1차원에서는 부호 규약을 정하는 것이 필수입니다. 2차원이나 3차원에서는 각 성분별로 운동량 보존을 적용해야 합니다.

계를 정의하는 것을 잊기

충돌에서 한 물체만 따로 추적하면 그 물체의 운동량은 보통 변합니다. 보존 법칙은 고립된 계의 총운동량에 적용되는 것이지, 각 물체에 반드시 따로 적용되는 것은 아닙니다.

모든 충돌에 운동에너지 보존을 적용하기

이것은 탄성 충돌에서만 성립합니다. 비탄성 충돌에서는 먼저 운동량 보존을 사용하고, 실제로 성립하는 조건만 추가해야 합니다.

외부 충격량을 무시하기

관심 있는 시간 구간 동안 외력이 중요하다면, 선택한 계의 총운동량은 일정하지 않을 수 있습니다. 고립 조건은 부가적인 설명이 아니라 법칙의 일부입니다.

운동량 보존은 어디에 쓰일까

운동량 보존은 충돌 해석, 반동 문제, 폭발, 입자 상호작용, 그리고 다양한 카트 실험에서 사용됩니다. 같은 원리를 이용하면 총을 쏠 때 왜 반동이 생기는지, 당구공이 왜 운동을 주고받는지, 그리고 서로 붙는 두 물체가 왜 충돌 전 더 빠르던 물체보다 느리게 움직이게 되는지를 이해할 수 있습니다.

비슷한 운동량 문제를 풀어 보세요

질량은 그대로 두고 두 번째 카트가 충돌 전에 왼쪽으로 움직이도록 바꾼 뒤, 음수 부호를 사용해 초기 총운동량을 다시 계산해 보세요. 다른 수치로 직접 만들어 보고 싶다면 GPAI Solver로 비슷한 충돌 문제를 풀어 보세요.