角动量

角动量告诉你，一个物体相对于某个选定点或轴具有多少转动运动。如果你在查找角动量公式，需要知道的两个主要形式是：对质点有 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$，对绕固定轴转动的刚体有 $L = I\omega$。

对于单个质点，一般定义为

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$

其中，$\vec{r}$ 是从参考点指向该质点的位矢，$\vec{p} = m\vec{v}$ 是线动量。

写成大小形式就是

$$L = rp\sin\theta$$

所以，当质量更大、速度更大、离转轴更远，或者运动方向与半径更接近垂直时，角动量就更大。如果运动方向正好直接指向参考点或远离参考点，那么 $\sin\theta = 0$，相对于该点的角动量就是零。

用通俗的话理解角动量

角动量不只是“转得很快”。它衡量的是，某个运动与绕特定点或轴转动之间的联系有多强。

这个参考点非常重要。对于不同的参考点，同一个运动物体可以有不同的角动量值。这是最容易忽略的细节之一，也正因如此，很多题目一开始就会明确告诉你应使用哪条轴或哪个原点。

对于绕固定轴转动的刚体，常常使用

$$L = I\omega$$

其中 $I$ 是转动惯量，$\omega$ 是角速度。这个形式只适用于“刚体绕固定轴转动”这种情况，并不是所有情形下的普遍定义。

角动量公式：哪些因素会改变它

从 $L = rp\sin\theta$ 可以看出，主要有四个控制因素：

• 质量越大，角动量越大。
• 速度越大，角动量越大。
• 到参考点的距离越大，角动量越大。
• $\vec{r}$ 与 $\vec{p}$ 之间的夹角越大，角动量越大，最大可到 $90^\circ$。

快捷形式 $L = mvr$ 只在运动方向与半径垂直时成立。如果不满足这个条件，就必须保留 $\sin\theta$ 这一因子。

例题：沿切线方向运动的小球

一个质量为 $0.20\ \mathrm{kg}$ 的小球，以 $6.0\ \mathrm{m/s}$ 的速度沿着某圆的切线方向运动。该圆半径为 $0.50\ \mathrm{m}$，圆心是选定的原点。求小球相对于该原点的角动量大小。

因为速度沿圆的切线方向，所以它与半径垂直。这意味着 $\theta = 90^\circ$，因此 $\sin\theta = 1$，角动量大小变为

$$L = mvr$$

现在代入数值：

$$L = (0.20)(6.0)(0.50) = 0.60\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

所以，小球相对于该原点的角动量大小为

$$0.60\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

如果小球仍沿同一条切线运动，但你选择了不同的原点，答案就可能改变。这个例题最重要的启示不只是计算过程，而是参考点的选择会影响结果。

角动量题中的常见错误

每道题都使用 $L = mvr$

这个快捷公式只在动量方向与半径垂直时才成立。一般情况下，应使用 $L = rp\sin\theta$。

忘记说明参考点

角动量总是相对于某个点或某条轴而言的。没有这个参考，表述就是不完整的。

把角动量只当作一个数

角动量是矢量。在很多入门题里，你可能只需要求大小，但在完整定义中，方向同样重要。

过早假设守恒

只有当相对于同一个点或轴，合外力矩为零时，角动量才守恒。如果这个条件不满足，角动量就会改变。

角动量用在哪里

角动量会出现在轨道问题、旋转飞轮、陀螺、旋转机械，以及花样滑冰运动员收拢身体后转得更快这类例子中。

当使用守恒关系比逐个分析力更方便时，角动量尤其有用。一个经典情形是：系统内部形状发生变化，但外力矩仍可忽略不计。

力矩如何改变角动量

力矩告诉你角动量如何变化：

$$\vec{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

如果合外力矩为零，那么 $d\vec{L}/dt = 0$，因此角动量守恒。这就是转动动力学与转动守恒定律之间最直接的联系。

试试一道类似的角动量题

保持同样的小球和半径不变，但把速度从 $6.0\ \mathrm{m/s}$ 降到 $3.0\ \mathrm{m/s}$。然后再保持速度为 $6.0\ \mathrm{m/s}$，把半径加倍到 $1.0\ \mathrm{m}$。比较这两种情况，是快速看出哪些因素会改变角动量以及改变多少的好方法。

如果你想对自己代入的数值获得分步反馈，可以在 GPAI Solver 中尝试你自己的版本，再和这里的例题进行比较。