Zasada zachowania pędu — zderzenia sprężyste i niesprężyste

Zasada zachowania pędu oznacza, że całkowity pęd układu pozostaje stały, jeśli wypadkowy impuls zewnętrzny działający na ten układ jest równy zeru albo można go pominąć w rozpatrywanym przedziale czasu. W zadaniach o zderzeniach jest to reguła, która łączy ruch przed zderzeniem z ruchem po zderzeniu.

Pęd jest wielkością wektorową. Dla obiektu o stałej masie w typowej mechanice wstępnej jego pęd wynosi

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Ponieważ pęd ma kierunek, znaki lub kierunki wektorów mają znaczenie. W zadaniu jednowymiarowym ruch w prawo często przyjmuje się jako dodatni, a ruch w lewo jako ujemny.

Co oznacza zasada zachowania pędu w zderzeniach

Pęd nie zachowuje się automatycznie dla każdego pojedynczego obiektu z osobna. Zachowuje się dla całego układu, gdy wypadkowy impuls zewnętrzny działający na ten układ jest pomijalny.

Ten warunek ma znaczenie. Podczas krótkiego zderzenia siły między zderzającymi się obiektami mogą być bardzo duże, ale są to siły wewnętrzne, jeśli oba obiekty należą do tego samego układu. Siły wewnętrzne mogą zmieniać rozkład pędu między obiektami bez zmiany całkowitego pędu.

Dla układu dwóch obiektów w jednym wymiarze zapis zasady pędu ma postać

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

To równanie jest poprawne, gdy układ jest dostatecznie odizolowany w czasie trwania zderzenia.

Zderzenia sprężyste i niesprężyste

Kluczowa różnica nie polega na tym, czy pęd jest zachowany. Dla układu izolowanego pęd zachowuje się w obu przypadkach.

W zderzeniu sprężystym zachowuje się także energia kinetyczna:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

W zderzeniu niesprężystym całkowita energia kinetyczna nie jest zachowana, mimo że całkowity pęd nadal jest zachowany.

Zderzenie doskonale niesprężyste to szczególny przypadek, w którym obiekty po zderzeniu sklejają się ze sobą. Wtedy mają jedną wspólną prędkość końcową.

Przykład obliczeniowy: zderzenie doskonale niesprężyste

Wózek o masie $2\ \mathrm{kg}$ porusza się w prawo z prędkością $4\ \mathrm{m/s}$ i zderza się z wózkiem o masie $1\ \mathrm{kg}$, który spoczywa. Po zderzeniu wózki sklejają się. Wyznacz ich prędkość końcową.

Jest to zderzenie doskonale niesprężyste, więc pęd jest zachowany, a oba wózki mają tę samą prędkość końcową $v_f$.

Przed zderzeniem

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Po zderzeniu łączna masa wynosi $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, więc

$$p_f = (3)v_f$$

Przyrównaj pęd początkowy i końcowy:

$$8 = 3v_f$$

Zatem prędkość końcowa wynosi

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

To około $2.67\ \mathrm{m/s}$ w prawo.

Porównajmy teraz energię kinetyczną przed i po zderzeniu:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

Całkowity pęd pozostaje taki sam, ale energia kinetyczna maleje. Tego właśnie należy się spodziewać w zderzeniu doskonale niesprężystym.

Dlaczego energia kinetyczna może maleć w zderzeniu niesprężystym

W zderzeniu niesprężystym część energii kinetycznej zamienia się w inne formy, takie jak energia cieplna, dźwięk lub odkształcenia wewnętrzne. Nie narusza to zasady zachowania pędu.

Częstym błędem jest założenie, że jeśli jedna wielkość jest zachowana, to każda znana wielkość też musi pozostać taka sama. Zasady zachowania mają różne warunki i dotyczą różnych wielkości fizycznych.

Typowe błędy w zadaniach o pędzie

Traktowanie pędu jak zwykłej liczby

Pęd ma kierunek. W jednym wymiarze wybór konwencji znaków jest konieczny. W dwóch lub trzech wymiarach trzeba stosować zasadę zachowania pędu osobno dla każdej składowej.

Zapominanie o zdefiniowaniu układu

Jeśli śledzisz tylko jeden obiekt w zderzeniu, jego pęd zwykle się zmienia. Zasada zachowania dotyczy całkowitego pędu układu izolowanego, a niekoniecznie każdego obiektu osobno.

Stosowanie zasady zachowania energii kinetycznej do każdego zderzenia

To jest poprawne tylko dla zderzeń sprężystych. W przypadku zderzeń niesprężystych najpierw stosuj zasadę zachowania pędu i dodawaj tylko te warunki, które rzeczywiście obowiązują.

Pomijanie impulsu zewnętrznego

Jeśli siły zewnętrzne mają znaczenie w rozpatrywanym przedziale czasu, całkowity pęd wybranego układu może nie pozostać stały. Warunek izolacji jest częścią tej zasady, a nie opcjonalnym szczegółem.

Gdzie stosuje się zasadę zachowania pędu

Zasada zachowania pędu jest stosowana w analizie zderzeń, zadaniach o odrzucie, wybuchach, oddziaływaniach cząstek i wielu doświadczeniach z wózkami laboratoryjnymi. Ta sama zasada pomaga zrozumieć, dlaczego broń palna ma odrzut, dlaczego kule bilardowe wymieniają się ruchem oraz dlaczego dwa obiekty, które sklejają się po zderzeniu, poruszają się wolniej niż szybszy z nich przed zderzeniem.

Spróbuj podobnego zadania o pędzie

Zachowaj te same masy, ale załóż, że drugi wózek porusza się w lewo przed zderzeniem, a następnie ponownie oblicz całkowity pęd początkowy, używając znaku ujemnego. Jeśli chcesz spróbować własnej wersji z innymi liczbami, rozwiąż podobne zadanie o zderzeniu za pomocą GPAI Solver.