Conservación del momento lineal — Colisiones elásticas e inelásticas

La conservación del momento lineal significa que el momento lineal total de un sistema permanece constante si el impulso externo neto sobre ese sistema es cero o despreciable durante el intervalo de tiempo que te interesa. En los problemas de colisiones, esa es la regla que conecta el movimiento antes del impacto con el movimiento después del impacto.

El momento lineal es una magnitud vectorial. Para un objeto con masa constante en la mecánica introductoria habitual, su momento lineal es

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Como el momento lineal tiene dirección, los signos o las direcciones vectoriales importan. En un problema unidimensional, suele tomarse el movimiento hacia la derecha como positivo y el movimiento hacia la izquierda como negativo.

Qué significa la conservación del momento lineal en las colisiones

El momento lineal no se conserva automáticamente para cada objeto por separado. Se conserva para el sistema total cuando el impulso externo neto sobre ese sistema es despreciable.

Esa condición importa. Durante una colisión breve, las fuerzas entre los objetos que chocan pueden ser muy grandes, pero esas son fuerzas internas si ambos objetos forman parte del mismo sistema. Las fuerzas internas pueden redistribuir el momento lineal entre los objetos sin cambiar el total.

Para un sistema de dos objetos en una dimensión, la expresión del momento lineal es

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

Esta ecuación es válida cuando el sistema está suficientemente aislado durante el intervalo de la colisión.

Colisiones elásticas vs. inelásticas

La diferencia clave no es si el momento lineal se conserva. En un sistema aislado, se conserva en ambos casos.

Una colisión elástica también conserva la energía cinética:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

Una colisión inelástica no conserva la energía cinética total, aunque el momento lineal total sigue conservándose.

Una colisión perfectamente inelástica es el caso especial en el que los objetos quedan unidos después del impacto. Entonces comparten una única velocidad final.

Ejemplo resuelto: una colisión perfectamente inelástica

Un carrito de $2\ \mathrm{kg}$ se mueve hacia la derecha a $4\ \mathrm{m/s}$ y choca con un carrito de $1\ \mathrm{kg}$ en reposo. Después de la colisión, los carritos quedan unidos. Halla su velocidad final.

Esta es una colisión perfectamente inelástica, así que el momento lineal se conserva y ambos carritos tienen la misma velocidad final $v_f$.

Antes de la colisión,

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Después de la colisión, la masa combinada es $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, así que

$$p_f = (3)v_f$$

Iguala el momento lineal inicial y el final:

$$8 = 3v_f$$

Por lo tanto, la velocidad final es

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

Eso es aproximadamente $2.67\ \mathrm{m/s}$ hacia la derecha.

Ahora compara la energía cinética antes y después de la colisión:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

El momento lineal total permanece igual, pero la energía cinética disminuye. Eso es exactamente lo que debes esperar en una colisión perfectamente inelástica.

Por qué la energía cinética puede disminuir en una colisión inelástica

En una colisión inelástica, parte de la energía cinética se transforma en otras formas, como energía térmica, sonido o deformación interna. Eso no viola la conservación del momento lineal.

El error común es suponer que si una magnitud se conserva, entonces toda magnitud conocida también debe permanecer igual. Las leyes de conservación tienen condiciones distintas y se aplican a diferentes magnitudes físicas.

Errores comunes en problemas de momento lineal

Tratar el momento lineal como si fuera un número cualquiera

El momento lineal tiene dirección. En una dimensión, elegir una convención de signos es esencial. En dos o tres dimensiones, debes conservar el momento lineal componente por componente.

Olvidar definir el sistema

Si sigues solo un objeto en una colisión, su momento lineal normalmente cambia. La ley de conservación se aplica al momento lineal total del sistema aislado, no necesariamente al de cada objeto por separado.

Usar la conservación de la energía cinética en todas las colisiones

Eso solo es válido para colisiones elásticas. Para colisiones inelásticas, usa primero la conservación del momento lineal y añade solo las condiciones que realmente se cumplen.

Ignorar el impulso externo

Si las fuerzas externas importan durante el intervalo de tiempo, el momento lineal total de tu sistema elegido puede no permanecer constante. La condición de aislamiento forma parte de la regla, no es un detalle opcional.

Dónde se usa la conservación del momento lineal

La conservación del momento lineal se usa en el análisis de colisiones, problemas de retroceso, explosiones, interacciones entre partículas y muchos experimentos de laboratorio con carritos. El mismo principio te ayuda a entender por qué un arma de fuego retrocede, por qué las bolas de billar intercambian movimiento y por qué dos objetos que quedan unidos se mueven más lentamente que el objeto más rápido antes del impacto.

Prueba un problema similar de momento lineal

Mantén las mismas masas, pero haz que el segundo carrito se mueva hacia la izquierda antes de la colisión, y luego vuelve a calcular el momento lineal inicial total con signo negativo. Si quieres probar tu propia versión con números distintos, resuelve una colisión similar con GPAI Solver.