Conservazione della quantità di moto — Urti elastici e anelastici

La conservazione della quantità di moto significa che la quantità di moto totale di un sistema resta costante se l'impulso esterno netto su quel sistema è nullo o trascurabile nell'intervallo di tempo che stai considerando. Nei problemi sugli urti, questa è la regola che collega il moto prima dell'impatto a quello dopo l'impatto.

La quantità di moto è una grandezza vettoriale. Per un oggetto con massa costante nella normale meccanica introduttiva, la sua quantità di moto è

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Poiché la quantità di moto ha una direzione, i segni o le direzioni vettoriali contano. In un problema unidimensionale, il moto verso destra viene spesso considerato positivo e il moto verso sinistra negativo.

Cosa significa la conservazione della quantità di moto negli urti

La quantità di moto non si conserva automaticamente per ogni singolo oggetto preso da solo. Si conserva per il sistema totale quando l'impulso esterno netto su quel sistema è trascurabile.

Questa condizione è importante. Durante un urto breve, le forze tra gli oggetti che collidono possono essere molto grandi, ma sono forze interne se entrambi gli oggetti fanno parte dello stesso sistema. Le forze interne possono ridistribuire la quantità di moto tra gli oggetti senza cambiarne il totale.

Per un sistema di due oggetti in una dimensione, l'equazione della quantità di moto è

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

Questa equazione è valida quando il sistema è sufficientemente isolato durante l'intervallo dell'urto.

Urti elastici e anelastici

La differenza fondamentale non è se la quantità di moto si conserva. In un sistema isolato, si conserva in entrambi i casi.

Un urto elastico conserva anche l'energia cinetica:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

Un urto anelastico non conserva l'energia cinetica totale, anche se la quantità di moto totale continua a conservarsi.

Un urto perfettamente anelastico è il caso speciale in cui gli oggetti restano attaccati dopo l'impatto. In quel caso condividono un'unica velocità finale.

Esempio svolto: un urto perfettamente anelastico

Un carrello di $2\ \mathrm{kg}$ si muove verso destra a $4\ \mathrm{m/s}$ e collide con un carrello di $1\ \mathrm{kg}$ fermo. Dopo l'urto, i carrelli restano attaccati. Trova la loro velocità finale.

Questo è un urto perfettamente anelastico, quindi la quantità di moto si conserva ed entrambi i carrelli hanno la stessa velocità finale $v_f$.

Prima dell'urto,

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Dopo l'urto, la massa complessiva è $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, quindi

$$p_f = (3)v_f$$

Uguaglia la quantità di moto iniziale e finale:

$$8 = 3v_f$$

Quindi la velocità finale è

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

Cioè circa $2.67\ \mathrm{m/s}$ verso destra.

Ora confronta l'energia cinetica prima e dopo l'urto:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

La quantità di moto totale resta la stessa, ma l'energia cinetica diminuisce. È esattamente ciò che ci si deve aspettare in un urto perfettamente anelastico.

Perché l'energia cinetica può diminuire in un urto anelastico

In un urto anelastico, una parte dell'energia cinetica si trasforma in altre forme, come energia termica, suono o deformazione interna. Questo non viola la conservazione della quantità di moto.

L'errore più comune è supporre che, se una grandezza si conserva, allora anche ogni altra grandezza familiare debba restare invariata. Le leggi di conservazione hanno condizioni diverse e si applicano a grandezze fisiche diverse.

Errori comuni nei problemi sulla quantità di moto

Trattare la quantità di moto come un semplice numero

La quantità di moto ha una direzione. In una dimensione, scegliere una convenzione dei segni è essenziale. In due o tre dimensioni, bisogna conservare la quantità di moto componente per componente.

Dimenticare di definire il sistema

Se segui un solo oggetto in un urto, la sua quantità di moto di solito cambia. La legge di conservazione si applica alla quantità di moto totale del sistema isolato, non necessariamente a ciascun oggetto separatamente.

Usare la conservazione dell'energia cinetica per ogni urto

Questo è valido solo per gli urti elastici. Per gli urti anelastici, usa prima la conservazione della quantità di moto e aggiungi solo le condizioni che si applicano davvero.

Ignorare l'impulso esterno

Se le forze esterne contano nell'intervallo di tempo considerato, la quantità di moto totale del sistema scelto potrebbe non restare costante. La condizione di isolamento fa parte della regola, non è un dettaglio facoltativo.

Dove si usa la conservazione della quantità di moto

La conservazione della quantità di moto si usa nell'analisi degli urti, nei problemi di rinculo, nelle esplosioni, nelle interazioni tra particelle e in molti esperimenti di laboratorio con carrelli. Lo stesso principio ti aiuta a capire perché un'arma da fuoco rincula, perché le palle da biliardo si scambiano il moto e perché due oggetti che restano attaccati si muovono più lentamente dell'oggetto più veloce prima dell'impatto.

Prova un problema simile sulla quantità di moto

Mantieni le stesse masse ma fai muovere il secondo carrello verso sinistra prima dell'urto, poi ricalcola la quantità di moto iniziale totale usando un segno negativo. Se vuoi provare una tua versione con numeri diversi, risolvi un urto simile con GPAI Solver.