Conservation de la quantité de mouvement — collisions élastiques et inélastiques

La conservation de la quantité de mouvement signifie que la quantité de mouvement totale d’un système reste constante si l’impulsion extérieure nette exercée sur ce système est nulle ou négligeable pendant l’intervalle de temps étudié. Dans les problèmes de collision, c’est la règle qui relie le mouvement avant le choc au mouvement après le choc.

La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle. Pour un objet de masse constante dans le cadre habituel de la mécanique introductive, sa quantité de mouvement est

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Comme la quantité de mouvement a une direction, les signes ou les directions vectorielles comptent. Dans un problème à une dimension, le mouvement vers la droite est souvent pris comme positif et le mouvement vers la gauche comme négatif.

Ce que signifie la conservation de la quantité de mouvement dans les collisions

La quantité de mouvement n’est pas automatiquement conservée pour chaque objet pris isolément. Elle est conservée pour le système total lorsque l’impulsion extérieure nette sur ce système est négligeable.

Cette condition est importante. Pendant une collision brève, les forces entre les objets qui se heurtent peuvent être très grandes, mais ce sont des forces internes si les deux objets font partie du même système. Les forces internes peuvent redistribuer la quantité de mouvement entre les objets sans modifier la quantité de mouvement totale.

Pour un système de deux objets en une dimension, l’expression de la quantité de mouvement est

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

Cette équation est valable lorsque le système est suffisamment isolé pendant l’intervalle de collision.

Collisions élastiques vs inélastiques

La différence essentielle n’est pas de savoir si la quantité de mouvement est conservée. Pour un système isolé, elle l’est dans les deux cas.

Une collision élastique conserve aussi l’énergie cinétique :

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

Une collision inélastique ne conserve pas l’énergie cinétique totale, même si la quantité de mouvement totale reste conservée.

Une collision parfaitement inélastique est le cas particulier où les objets restent collés après le choc. Ils partagent alors une même vitesse finale.

Exemple résolu : une collision parfaitement inélastique

Un chariot de $2\ \mathrm{kg}$ se déplace vers la droite à $4\ \mathrm{m/s}$ et entre en collision avec un chariot de $1\ \mathrm{kg}$ au repos. Après la collision, les chariots restent collés. Déterminez leur vitesse finale.

Il s’agit d’une collision parfaitement inélastique, donc la quantité de mouvement est conservée et les deux chariots ont la même vitesse finale $v_f$.

Avant la collision,

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Après la collision, la masse totale vaut $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, donc

$$p_f = (3)v_f$$

On égalise la quantité de mouvement initiale et la quantité de mouvement finale :

$$8 = 3v_f$$

Donc la vitesse finale est

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

Soit environ $2.67\ \mathrm{m/s}$ vers la droite.

Comparons maintenant l’énergie cinétique avant et après la collision :

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

La quantité de mouvement totale reste la même, mais l’énergie cinétique diminue. C’est exactement ce à quoi il faut s’attendre dans une collision parfaitement inélastique.

Pourquoi l’énergie cinétique peut diminuer lors d’une collision inélastique

Dans une collision inélastique, une partie de l’énergie cinétique est transformée en d’autres formes, comme l’énergie thermique, le son ou la déformation interne. Cela ne viole pas la conservation de la quantité de mouvement.

L’erreur fréquente consiste à supposer que si une grandeur est conservée, alors toute grandeur familière doit aussi rester identique. Les lois de conservation ont des conditions différentes et s’appliquent à des grandeurs physiques différentes.

Erreurs fréquentes dans les problèmes de quantité de mouvement

Traiter la quantité de mouvement comme un simple nombre

La quantité de mouvement a une direction. En une dimension, choisir une convention de signe est essentiel. En deux ou trois dimensions, il faut conserver la quantité de mouvement composante par composante.

Oublier de définir le système

Si vous ne suivez qu’un seul objet dans une collision, sa quantité de mouvement change généralement. La loi de conservation s’applique à la quantité de mouvement totale du système isolé, pas nécessairement à chaque objet séparément.

Utiliser la conservation de l’énergie cinétique pour toutes les collisions

Cela n’est valable que pour les collisions élastiques. Pour les collisions inélastiques, utilisez d’abord la conservation de la quantité de mouvement et n’ajoutez que les conditions qui s’appliquent réellement.

Négliger l’impulsion extérieure

Si des forces extérieures comptent pendant l’intervalle de temps considéré, la quantité de mouvement totale du système choisi peut ne pas rester constante. La condition d’isolement fait partie de la règle, ce n’est pas un détail facultatif.

Où la conservation de la quantité de mouvement est utilisée

La conservation de la quantité de mouvement est utilisée dans l’analyse des collisions, les problèmes de recul, les explosions, les interactions entre particules et de nombreuses expériences de laboratoire avec des chariots. Le même principe aide à comprendre pourquoi une arme à feu recule, pourquoi des boules de billard échangent leur mouvement et pourquoi deux objets qui restent collés se déplacent plus lentement que l’objet le plus rapide avant le choc.

Essayez un problème similaire sur la quantité de mouvement

Gardez les mêmes masses, mais faites se déplacer le deuxième chariot vers la gauche avant la collision, puis recalculez la quantité de mouvement totale initiale avec un signe négatif. Si vous voulez essayer votre propre version avec d’autres valeurs, résolvez une collision similaire avec GPAI Solver.