Impulserhaltung — elastische und unelastische Stöße

Impulserhaltung bedeutet, dass der Gesamtimpuls eines Systems konstant bleibt, wenn der äußere Gesamtimpulsstoß auf dieses System im betrachteten Zeitintervall null oder vernachlässigbar ist. Bei Stoßaufgaben ist das die Regel, die die Bewegung vor dem Aufprall mit der Bewegung nach dem Aufprall verknüpft.

Der Impuls ist eine Vektorgröße. Für ein Objekt mit konstanter Masse in der üblichen einführenden Mechanik gilt für den Impuls

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Weil der Impuls eine Richtung hat, sind Vorzeichen oder Vektorrichtungen wichtig. In einer eindimensionalen Aufgabe wird Bewegung nach rechts oft als positiv und Bewegung nach links als negativ gewählt.

Was Impulserhaltung bei Stößen bedeutet

Der Impuls ist nicht automatisch für jedes einzelne Objekt für sich erhalten. Er ist für das Gesamtsystem erhalten, wenn der äußere Gesamtimpulsstoß auf dieses System vernachlässigbar ist.

Diese Bedingung ist wichtig. Während eines kurzen Stoßes können die Kräfte zwischen den stoßenden Objekten sehr groß sein, aber das sind innere Kräfte, wenn beide Objekte zum selben System gehören. Innere Kräfte können den Impuls zwischen den Objekten umverteilen, ohne den Gesamtimpuls zu ändern.

Für ein System aus zwei Objekten in einer Dimension lautet die Impulsbeziehung

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

Diese Gleichung ist gültig, wenn das System während des Stoßintervalls hinreichend gut isoliert ist.

Elastische vs. unelastische Stöße

Der entscheidende Unterschied ist nicht, ob der Impuls erhalten ist. Für ein isoliertes System ist der Impuls in beiden Fällen erhalten.

Ein elastischer Stoß erhält zusätzlich die kinetische Energie:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

Ein unelastischer Stoß erhält die gesamte kinetische Energie nicht, obwohl der Gesamtimpuls weiterhin erhalten bleibt.

Ein vollkommen unelastischer Stoß ist der Spezialfall, bei dem die Objekte nach dem Aufprall zusammenkleben. Dann haben sie dieselbe Endgeschwindigkeit.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein vollkommen unelastischer Stoß

Ein Wagen mit $2\ \mathrm{kg}$ bewegt sich mit $4\ \mathrm{m/s}$ nach rechts und stößt mit einem Wagen von $1\ \mathrm{kg}$ zusammen, der in Ruhe ist. Nach dem Stoß bleiben die Wagen zusammen. Bestimme ihre Endgeschwindigkeit.

Das ist ein vollkommen unelastischer Stoß, also ist der Impuls erhalten und beide Wagen haben dieselbe Endgeschwindigkeit $v_f$.

Vor dem Stoß gilt

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Nach dem Stoß beträgt die Gesamtmasse $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, also

$$p_f = (3)v_f$$

Setze Anfangs- und Endimpuls gleich:

$$8 = 3v_f$$

Damit ist die Endgeschwindigkeit

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

Das sind etwa $2.67\ \mathrm{m/s}$ nach rechts.

Vergleiche nun die kinetische Energie vor und nach dem Stoß:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

Der Gesamtimpuls bleibt gleich, aber die kinetische Energie nimmt ab. Genau das solltest du bei einem vollkommen unelastischen Stoß erwarten.

Warum die kinetische Energie bei einem unelastischen Stoß abnehmen kann

Bei einem unelastischen Stoß wird ein Teil der kinetischen Energie in andere Formen umgewandelt, zum Beispiel in Wärmeenergie, Schall oder innere Verformung. Das verletzt die Impulserhaltung nicht.

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass, wenn eine Größe erhalten ist, auch jede andere vertraute Größe gleich bleiben muss. Erhaltungssätze haben unterschiedliche Bedingungen und gelten für unterschiedliche physikalische Größen.

Häufige Fehler bei Impulsaufgaben

Impuls wie eine gewöhnliche Zahl behandeln

Der Impuls hat eine Richtung. In einer Dimension ist die Wahl einer Vorzeichenkonvention entscheidend. In zwei oder drei Dimensionen musst du den Impuls komponentenweise erhalten.

Vergessen, das System zu definieren

Wenn du bei einem Stoß nur ein Objekt betrachtest, ändert sich sein Impuls normalerweise. Der Erhaltungssatz gilt für den Gesamtimpuls des isolierten Systems, nicht unbedingt für jedes einzelne Objekt.

Energieerhaltung der kinetischen Energie bei jedem Stoß verwenden

Das ist nur bei elastischen Stößen gültig. Bei unelastischen Stößen verwendest du zuerst die Impulserhaltung und ergänzt nur die Bedingungen, die tatsächlich gelten.

Äußeren Impulsstoß ignorieren

Wenn äußere Kräfte im betrachteten Zeitintervall eine Rolle spielen, bleibt der Gesamtimpuls deines gewählten Systems möglicherweise nicht konstant. Die Isolationsbedingung ist Teil der Regel, kein optionales Detail.

Wo die Impulserhaltung verwendet wird

Die Impulserhaltung wird bei der Analyse von Stößen, Rückstoßproblemen, Explosionen, Teilchenwechselwirkungen und vielen Experimenten mit Wagen im Labor verwendet. Dasselbe Prinzip hilft dir zu verstehen, warum eine Schusswaffe Rückstoß hat, warum Billardkugeln Bewegung austauschen und warum sich zwei zusammenklebende Objekte langsamer bewegen als das schnellere Objekt vor dem Aufprall.

Probiere eine ähnliche Impulsaufgabe

Behalte dieselben Massen bei, aber lass den zweiten Wagen vor dem Stoß nach links fahren, und berechne dann den gesamten Anfangsimpuls mit einem negativen Vorzeichen neu. Wenn du deine eigene Variante mit anderen Zahlen ausprobieren möchtest, löse einen ähnlichen Stoß mit GPAI Solver.