功-能定理

功-能定理指出，作用在物体上的合功等于其动能的变化：

$$W_{net} = \Delta K$$

这一行公式就是核心思想。合功为正会使物体加速，合功为负会使物体减速。

如果你知道力如何在一段位移上作用，这个定理通常能直接给出速度的变化。你不需要在每一时刻都去求加速度。

功-能定理公式

对于经典力学中可视为质点的物体，

$$W_{net} = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

这里，$K_i$ 和 $K_f$ 分别是初动能和末动能。“合”这个字很重要，因为定理使用的是所有力做功的总和，而不是某一个选定力所做的功。

为什么合功很重要

功是力在位移过程中传递的能量。若某个力在运动方向上有分量，它做正功；若它指向与运动相反的方向，它做负功；若它始终与运动方向垂直，则它做功为零。

这就是为什么摩擦力通常会降低动能，而外加推力可能会增大动能。该定理把这些贡献全部加起来，再与速度变化对应起来。

例题：求停车距离

一个质量为 $2\,\mathrm{kg}$ 的木块在水平地面上滑动，初速度为 $4\,\mathrm{m/s}$。动摩擦力大小恒为 $8\,\mathrm{N}$，方向与运动相反。木块在停止前会滑行多远？

先写出初动能和末动能：

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\,\mathrm{J}$$ $$K_f = 0$$

所以动能的变化为

$$\Delta K = K_f - K_i = -16\,\mathrm{J}$$

合功来自摩擦力。在水平位移过程中，支持力和重力都不做功，因为它们与运动方向垂直。若停车距离为 $d$，则

$$W_{net} = -8d$$

应用定理：

$$-8d = -16$$ $$d = 2\,\mathrm{m}$$

所以木块在停止前滑行了 $2\,\mathrm{m}$。摩擦力所做的负功，正好对应动能减少的 $16\,\mathrm{J}$。

功-能定理中的常见错误

• 只用了某一个力做的功，而定理需要的是所有力做功的合功。
• 把负功理解成“物体向后运动”。它只表示在所选符号约定下，动能在减小。
• 认为这个定理只适用于恒力。关键量是在整个运动过程中产生的总合功。
• 把功-能定理和机械能守恒混淆。

什么时候使用功-能定理

当你关心的是物体在一段距离上的速度变化，而不是完整的运动时间过程时，这个定理尤其有用。它常见于刹车、斜面、弹簧、摩擦力以及许多变力问题中。

当用牛顿第二定律会迫使你先求加速度时，它往往是更快的解题路径。如果你能算出合功，通常就可以直接得到速度的变化。

功-能定理 vs. 能量守恒

功-能定理始终表明

$$W_{net} = \Delta K$$

在初等经典力学中，这个结论非常普遍。机械能守恒则需要额外条件，例如系统中没有摩擦等非保守作用导致的能量损失，或者这些能量变化已被单独计入。

把这两个概念区分清楚，可以避免很多混淆。即使机械能不守恒，功-能定理仍然可以使用。

试做一道类似题

你可以把同一道题改编一下，比如把初速度加倍，或者把摩擦力减半。先预测新的停车距离，再计算结果，并将你的直觉与答案进行比较。