Διατήρηση της Ορμής — Ελαστικές και Ανελαστικές Κρούσεις

Η διατήρηση της ορμής σημαίνει ότι η συνολική ορμή ενός συστήματος παραμένει σταθερή αν η συνισταμένη εξωτερική ώση στο σύστημα είναι μηδενική ή αμελητέα στο χρονικό διάστημα που εξετάζεις. Στα προβλήματα κρούσεων, αυτός είναι ο κανόνας που συνδέει την κίνηση πριν από την κρούση με την κίνηση μετά από αυτήν.

Η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος. Για ένα σώμα με σταθερή μάζα στη συνήθη εισαγωγική μηχανική, η ορμή του είναι

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

Επειδή η ορμή έχει κατεύθυνση, τα πρόσημα ή οι διανυσματικές κατευθύνσεις έχουν σημασία. Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα, η κίνηση προς τα δεξιά συνήθως θεωρείται θετική και η κίνηση προς τα αριστερά αρνητική.

Τι Σημαίνει Η Διατήρηση Της Ορμής Στις Κρούσεις

Η ορμή δεν διατηρείται αυτόματα για κάθε μεμονωμένο σώμα από μόνο του. Διατηρείται για το συνολικό σύστημα όταν η συνισταμένη εξωτερική ώση στο σύστημα είναι αμελητέα.

Αυτή η συνθήκη είναι σημαντική. Κατά τη διάρκεια μιας σύντομης κρούσης, οι δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων που συγκρούονται μπορεί να είναι πολύ μεγάλες, αλλά αυτές είναι εσωτερικές δυνάμεις αν και τα δύο σώματα ανήκουν στο ίδιο σύστημα. Οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να ανακατανείμουν την ορμή μεταξύ των σωμάτων χωρίς να αλλάξουν το συνολικό άθροισμα.

Για ένα σύστημα δύο σωμάτων σε μία διάσταση, η σχέση της ορμής είναι

$$m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f}$$

Αυτή η εξίσωση ισχύει όταν το σύστημα είναι αρκετά απομονωμένο κατά το χρονικό διάστημα της κρούσης.

Ελαστικές Vs Ανελαστικές Κρούσεις

Η βασική διαφορά δεν είναι το αν διατηρείται η ορμή. Για ένα απομονωμένο σύστημα, η ορμή διατηρείται και στις δύο περιπτώσεις.

Μια ελαστική κρούση διατηρεί επίσης την κινητική ενέργεια:

$$\frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2$$

Μια ανελαστική κρούση δεν διατηρεί τη συνολική κινητική ενέργεια, παρόλο που η συνολική ορμή εξακολουθεί να διατηρείται.

Μια πλήρως ανελαστική κρούση είναι η ειδική περίπτωση όπου τα σώματα κολλούν μεταξύ τους μετά την πρόσκρουση. Τότε μοιράζονται την ίδια τελική ταχύτητα.

Λυμένο Παράδειγμα: Μια Πλήρως Ανελαστική Κρούση

Ένα αμαξίδιο μάζας $2\ \mathrm{kg}$ κινείται προς τα δεξιά με $4\ \mathrm{m/s}$ και συγκρούεται με ένα αμαξίδιο μάζας $1\ \mathrm{kg}$ που αρχικά είναι ακίνητο. Μετά την κρούση, τα αμαξίδια κολλούν μεταξύ τους. Να βρεθεί η τελική τους ταχύτητα.

Αυτή είναι μια πλήρως ανελαστική κρούση, άρα η ορμή διατηρείται και τα δύο αμαξίδια έχουν την ίδια τελική ταχύτητα $v_f$.

Πριν από την κρούση,

$$p_i = (2)(4) + (1)(0) = 8\ \mathrm{kg \cdot m/s}$$

Μετά την κρούση, η συνολική μάζα είναι $2 + 1 = 3\ \mathrm{kg}$, οπότε

$$p_f = (3)v_f$$

Θέτουμε ίσες την αρχική και την τελική ορμή:

$$8 = 3v_f$$

Άρα η τελική ταχύτητα είναι

$$v_f = \frac{8}{3}\ \mathrm{m/s}$$

Δηλαδή περίπου $2.67\ \mathrm{m/s}$ προς τα δεξιά.

Τώρα σύγκρινε την κινητική ενέργεια πριν και μετά την κρούση:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\ \mathrm{J}$$ $$K_f = \frac{1}{2}(3)\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{32}{3}\ \mathrm{J} \approx 10.67\ \mathrm{J}$$

Η συνολική ορμή παραμένει ίδια, αλλά η κινητική ενέργεια μειώνεται. Αυτό ακριβώς πρέπει να περιμένεις σε μια πλήρως ανελαστική κρούση.

Γιατί Η Κινητική Ενέργεια Μπορεί Να Μειωθεί Σε Μια Ανελαστική Κρούση

Σε μια ανελαστική κρούση, ένα μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε άλλες μορφές, όπως θερμική ενέργεια, ήχο ή εσωτερική παραμόρφωση. Αυτό δεν παραβιάζει τη διατήρηση της ορμής.

Το συνηθισμένο λάθος είναι να υποθέτεις ότι αν ένα μέγεθος διατηρείται, τότε κάθε γνώριμο μέγεθος πρέπει επίσης να παραμένει ίδιο. Οι νόμοι διατήρησης έχουν διαφορετικές συνθήκες και εφαρμόζονται σε διαφορετικά φυσικά μεγέθη.

Συνηθισμένα Λάθη Σε Προβλήματα Ορμής

Αντιμετώπιση της ορμής σαν απλό αριθμό

Η ορμή έχει κατεύθυνση. Σε μία διάσταση, η επιλογή σύμβασης προσήμων είναι απαραίτητη. Σε δύο ή τρεις διαστάσεις, πρέπει να εφαρμόζεις τη διατήρηση της ορμής κατά συνιστώσα.

Παράλειψη ορισμού του συστήματος

Αν παρακολουθείς μόνο ένα σώμα σε μια κρούση, η ορμή του συνήθως αλλάζει. Ο νόμος διατήρησης εφαρμόζεται στη συνολική ορμή του απομονωμένου συστήματος, όχι απαραίτητα σε κάθε σώμα ξεχωριστά.

Χρήση της διατήρησης της κινητικής ενέργειας σε κάθε κρούση

Αυτό ισχύει μόνο για ελαστικές κρούσεις. Για ανελαστικές κρούσεις, χρησιμοποίησε πρώτα τη διατήρηση της ορμής και πρόσθεσε μόνο τις συνθήκες που πράγματι ισχύουν.

Αγνόηση της εξωτερικής ώσης

Αν οι εξωτερικές δυνάμεις έχουν σημασία στο χρονικό διάστημα που εξετάζεις, η συνολική ορμή του συστήματος που επέλεξες μπορεί να μη μείνει σταθερή. Η συνθήκη απομόνωσης είναι μέρος του κανόνα, όχι προαιρετική λεπτομέρεια.

Πού Χρησιμοποιείται Η Διατήρηση Της Ορμής

Η διατήρηση της ορμής χρησιμοποιείται στην ανάλυση κρούσεων, σε προβλήματα ανάκρουσης, εκρήξεων, αλληλεπιδράσεων σωματιδίων και σε πολλά εργαστηριακά πειράματα με αμαξίδια. Η ίδια αρχή σε βοηθά να καταλάβεις γιατί ένα όπλο ανακρούεται, γιατί οι μπάλες του μπιλιάρδου ανταλλάσσουν κίνηση και γιατί δύο σώματα που κολλούν μεταξύ τους κινούνται πιο αργά από ό,τι κινούνταν το ταχύτερο σώμα πριν από την κρούση.

Δοκίμασε Ένα Παρόμοιο Πρόβλημα Ορμής

Κράτησε τις ίδιες μάζες αλλά άφησε το δεύτερο αμαξίδιο να κινείται προς τα αριστερά πριν από την κρούση και μετά υπολόγισε ξανά τη συνολική αρχική ορμή με αρνητικό πρόσημο. Αν θέλεις να δοκιμάσεις τη δική σου εκδοχή με διαφορετικούς αριθμούς, λύσε μια παρόμοια κρούση με το GPAI Solver.