三角恒等式：核心公式表、证明思路与例题

三角恒等式是包含 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 及相关函数的公式，只要等式两边都有定义，它们对定义域内的每一个角都成立。如果你在找代数、预备微积分和初等微积分中常用的标准三角恒等式，核心内容包括倒数恒等式、商恒等式、勾股恒等式、奇偶恒等式、余函数恒等式、和差恒等式、倍角恒等式和半角恒等式。

想要最快记住它们，最好的方法是按用途分类。有些恒等式把一个三角函数改写成另一个，有些把 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 联系起来，还有些把角从 $\theta$ 变成 $2\theta$ 或 $\theta/2$。

什么样的等式才是三角恒等式？

恒等式在它的定义域内对每一个角都成立。例如，

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

是恒等式，因为它对所有 $\theta$ 都成立。

相反，

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

就不是恒等式。它只对某些特定角成立。

定义域条件很重要。例如，

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

只有在 $\cos \theta \neq 0$ 时才成立。

核心三角恒等式列表

倒数恒等式

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

每个公式都要求分母不为零。

商恒等式

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

在化简题中，它们常常是第一步，因为它们能把所有内容改写成 $\sin$ 和 $\cos$ 的形式。

勾股恒等式

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

第一个恒等式是后两个恒等式的来源。

奇偶恒等式

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

同样的规律也适用于倒数函数：$\csc$ 和 $\cot$ 是奇函数，而 $\sec$ 是偶函数。

余函数恒等式

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

这些恒等式来自互余角。

和差恒等式

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

对于正切公式，分母必须不为零。

倍角恒等式

在角和公式中令 $\alpha = \beta = \theta$。

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

正切的倍角公式还要求 $1 - \tan^2 \theta \neq 0$。

半角恒等式

这些恒等式来自对倍角公式的变形。

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

当角写成 $\theta/2$ 时，平方根形式为

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

符号取决于 $\theta/2$ 所在的象限，因此不能想当然地把 $\pm$ 去掉。

主要三角恒等式是怎么来的

单位圆给出第一个勾股恒等式

在单位圆上，角 $\theta$ 对应的点是 $(\cos \theta, \sin \theta)$。因为圆上的每个点都满足 $x^2 + y^2 = 1$，代入 $x = \cos \theta$ 和 $y = \sin \theta$ 就得到

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

这就是最基本的勾股恒等式。

其他勾股恒等式来自两边同除

如果 $\cos \theta \neq 0$，把

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

两边同除以 $\cos^2 \theta$：

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

如果 $\sin \theta \neq 0$，两边同除以 $\sin^2 \theta$ 可得

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

倍角恒等式来自角和公式

从

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

开始，并令 $\alpha = \beta = \theta$：

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

余弦和正切的倍角恒等式也是用同样的方法推导出来的。

例题：化简一个倍角表达式

化简

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

其中角要满足原式有定义。

使用倍角恒等式：

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

以及

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

现在代入：

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

这个结论只在原分母不为零时成立，也就是 $\sin(2\theta) \neq 0$。这个条件很重要，因为约去公因子后，可能会掩盖一开始就被排除的取值。

三角恒等式中的常见错误

忽略定义域限制是最容易出问题的错误。只有在 $\sin \theta$ 或 $\cos \theta$ 不为零时，才能用它们去做除法。

另一个常见错误是在半角公式中把 $\pm$ 直接丢掉。单独的平方根并不能决定三角函数值的符号。

学生还常常混淆 $\sin^2 \theta$ 和 $\sin(\theta^2)$。记号 $\sin^2 \theta$ 的意思是 $(\sin \theta)^2$。

三角恒等式什么时候会用到

只要你需要把一个表达式改写成更有用的形式，三角恒等式就会出现。这包括化简作业题、证明两个表达式相等、解三角方程，以及为积分等微积分内容做准备。

在实际做题中，很多问题一旦全部改写成 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的形式，就会容易得多。

试试一道类似的题

化简

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

使用倍角恒等式，并始终注意原式的定义域条件。如果你还想再多走一步，可以把结果和 $\tan \theta$ 比较一下。