Identidades trigonométricas: lista básica, ideas de demostración y ejemplo

Las identidades trigonométricas son fórmulas que involucran $\sin$, $\cos$, $\tan$ y funciones relacionadas, y que son verdaderas para todo ángulo donde ambos lados están definidos. Si buscas las identidades trigonométricas estándar que se usan en álgebra, precálculo y cálculo inicial, la lista básica incluye las identidades recíprocas, de cociente, pitagóricas, de paridad, de cofunción, de suma y diferencia, de ángulo doble y de ángulo mitad.

La forma más rápida de recordarlas es agruparlas según su propósito. Algunas reescriben una función trigonométrica en términos de otra, otras conectan $\sin \theta$ y $\cos \theta$, y otras cambian el ángulo de $\theta$ a $2\theta$ o $\theta/2$.

¿Qué hace que una ecuación sea una identidad trigonométrica?

Una identidad es verdadera para todo ángulo de su dominio. Por ejemplo,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

es una identidad porque se cumple para todo $\theta$.

En cambio,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

no es una identidad. Solo es verdadera para ángulos específicos.

La condición del dominio importa. Por ejemplo,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

solo es verdadera cuando $\cos \theta \neq 0$.

Lista básica de identidades trigonométricas

Identidades recíprocas

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Cada fórmula requiere que el denominador sea distinto de cero.

Identidades de cociente

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Estas suelen ser el primer paso en problemas de simplificación porque reescriben todo en términos de $\sin$ y $\cos$.

Identidades pitagóricas

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

La primera identidad es el origen de las otras dos.

Identidades de paridad

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

El mismo patrón se extiende a las funciones recíprocas: $\csc$ y $\cot$ son impares, mientras que $\sec$ es par.

Identidades de cofunción

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Estas provienen de los ángulos complementarios.

Identidades de suma y diferencia

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

En las fórmulas de la tangente, el denominador debe ser distinto de cero.

Identidades de ángulo doble

Haz $\alpha = \beta = \theta$ en las fórmulas de suma de ángulos.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

La versión de la tangente también requiere que $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Identidades de ángulo mitad

Estas se obtienen al reorganizar las fórmulas de ángulo doble.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Para un ángulo escrito como $\theta/2$, las formas con raíz cuadrada son

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

El signo depende del cuadrante de $\theta/2$, así que no se puede eliminar el $\pm$ sin más.

De dónde salen las principales identidades trigonométricas

La circunferencia unitaria da la primera identidad pitagórica

En la circunferencia unitaria, el punto correspondiente al ángulo $\theta$ es $(\cos \theta, \sin \theta)$. Como todo punto de esa circunferencia cumple $x^2 + y^2 = 1$, al sustituir $x = \cos \theta$ y $y = \sin \theta$ se obtiene

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Esa es la identidad pitagórica básica.

Las otras identidades pitagóricas salen al dividir

Si $\cos \theta \neq 0$, divide

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

entre $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Si $\sin \theta \neq 0$, al dividir entre $\sin^2 \theta$ se obtiene

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Las identidades de ángulo doble salen de las fórmulas de suma de ángulos

Empieza con

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

y haz $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Las identidades de ángulo doble para el coseno y la tangente se derivan de la misma manera.

Ejemplo resuelto: simplificar una expresión de ángulo doble

Simplifica

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

para los ángulos donde la expresión original está definida.

Usa las identidades de ángulo doble:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

y

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Ahora sustituye:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Esta conclusión solo es válida donde el denominador original no es cero, así que $\sin(2\theta) \neq 0$. Esa condición importa porque al cancelar un factor se pueden ocultar valores que estaban excluidos desde el principio.

Errores comunes con las identidades trigonométricas

Ignorar las restricciones del dominio es el error que más problemas causa. Dividir entre $\sin \theta$ o $\cos \theta$ solo es válido cuando esa cantidad no es cero.

Otro error común es eliminar el $\pm$ en las fórmulas de ángulo mitad. La raíz cuadrada por sí sola no determina el signo del valor trigonométrico.

Los estudiantes también confunden $\sin^2 \theta$ con $\sin(\theta^2)$. La notación $\sin^2 \theta$ significa $(\sin \theta)^2$.

Cuándo se usan las identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas aparecen siempre que necesitas reescribir una expresión en una forma más útil. Eso incluye simplificar ejercicios, demostrar que dos expresiones son iguales, resolver ecuaciones trigonométricas y prepararte para temas de cálculo como la integración.

En la práctica, muchos problemas se vuelven más fáciles una vez que todo se reescribe en términos de $\sin \theta$ y $\cos \theta$.

Prueba un problema similar

Simplifica

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

usando identidades de ángulo doble, y ten presente la condición de dominio de la expresión original. Si quieres dar un paso más, compara tu resultado con $\tan \theta$.