Identità trigonometriche: elenco fondamentale

Le identità trigonometriche sono formule che coinvolgono $\sin$, $\cos$, $\tan$ e le funzioni collegate, e che risultano vere per ogni angolo per cui entrambi i membri sono definiti. Se stai cercando le identità goniometriche standard usate in algebra, precalcolo e nei primi corsi di analisi, l’elenco fondamentale comprende le identità reciproche, di quoziente, pitagoriche, di parità, di cofunzione, di somma e differenza, di angolo doppio e di angolo metà.

Il modo più rapido per memorizzarle è raggrupparle in base allo scopo. Alcune riscrivono una funzione trigonometrica in funzione di un’altra, alcune collegano $\sin \theta$ e $\cos \theta$, e altre cambiano l’angolo da $\theta$ a $2\theta$ o $\theta/2$.

Che cosa rende un’equazione un’identità trigonometrica?

Un’identità è vera per ogni angolo del suo dominio. Per esempio,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

è un’identità perché vale per ogni $\theta$.

Al contrario,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

non è un’identità. È vera solo per angoli specifici.

La condizione sul dominio è importante. Per esempio,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

è vera solo quando $\cos \theta \neq 0$.

Elenco delle principali identità trigonometriche

Identità reciproche

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Ogni formula richiede che il denominatore sia diverso da zero.

Identità di quoziente

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Spesso sono il primo passaggio nei problemi di semplificazione, perché riscrivono tutto in termini di $\sin$ e $\cos$.

Identità pitagoriche

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

La prima identità è l’origine delle altre due.

Identità di parità

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Lo stesso schema si estende alle funzioni reciproche: $\csc$ e $\cot$ sono dispari, mentre $\sec$ è pari.

Identità di cofunzione

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Queste derivano dagli angoli complementari.

Identità di somma e differenza

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Per le formule della tangente, il denominatore deve essere diverso da zero.

Identità di angolo doppio

Poni $\alpha = \beta = \theta$ nelle formule di somma degli angoli.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Anche la versione per la tangente richiede $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Identità di angolo metà

Queste si ottengono riorganizzando le formule di angolo doppio.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Per un angolo scritto come $\theta/2$, le forme con la radice quadrata sono

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Il segno dipende dal quadrante di $\theta/2$, quindi il simbolo $\pm$ non può essere eliminato alla cieca.

Da dove vengono le principali identità goniometriche

La circonferenza unitaria fornisce la prima identità pitagorica

Sulla circonferenza unitaria, il punto corrispondente all’angolo $\theta$ è $(\cos \theta, \sin \theta)$. Poiché ogni punto di quella circonferenza soddisfa $x^2 + y^2 = 1$, sostituendo $x = \cos \theta$ e $y = \sin \theta$ si ottiene

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Questa è l’identità pitagorica di base.

Le altre identità pitagoriche si ottengono per divisione

Se $\cos \theta \neq 0$, dividi

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

per $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Se $\sin \theta \neq 0$, dividendo per $\sin^2 \theta$ si ottiene

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Le identità di angolo doppio derivano dalle formule di somma degli angoli

Si parte da

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

e si pone $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Le identità di angolo doppio per coseno e tangente si ricavano allo stesso modo.

Esempio svolto: semplificare un’espressione con angolo doppio

Semplifica

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

per gli angoli per cui l’espressione originale è definita.

Usa le identità di angolo doppio:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

e

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Ora sostituisci:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Questa conclusione è valida solo dove il denominatore originale è diverso da zero, quindi $\sin(2\theta) \neq 0$. Questa condizione è importante perché semplificare un fattore può nascondere valori che erano esclusi fin dall’inizio.

Errori comuni con le identità trigonometriche

Ignorare le restrizioni di dominio è l’errore che crea più problemi. Dividere per $\sin \theta$ o $\cos \theta$ è valido solo quando quella quantità è diversa da zero.

Un altro errore comune è eliminare il simbolo $\pm$ nelle formule di angolo metà. La sola radice quadrata non determina il segno del valore trigonometrico.

Gli studenti confondono anche $\sin^2 \theta$ e $\sin(\theta^2)$. La notazione $\sin^2 \theta$ significa $(\sin \theta)^2$.

Quando si usano le identità goniometriche

Le identità goniometriche compaiono ogni volta che devi riscrivere un’espressione in una forma più utile. Questo include semplificare esercizi, dimostrare che due espressioni sono uguali, risolvere equazioni goniometriche e prepararsi ad argomenti di analisi come l’integrazione.

In pratica, molti problemi diventano più semplici una volta che tutto viene riscritto in termini di $\sin \theta$ e $\cos \theta$.

Prova un problema simile

Semplifica

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

usando le identità di angolo doppio, e tieni presente la condizione di dominio dell’espressione originale. Se vuoi fare un passo in più, confronta il tuo risultato con $\tan \theta$.