Trigonometrische Identitäten: Grundlegende Liste, Beweisideen und Beispiel

Trigonometrische Identitäten sind Formeln mit $\sin$, $\cos$, $\tan$ und verwandten Funktionen, die für jeden Winkel gelten, für den beide Seiten definiert sind. Wenn du nach den Standard-Identitäten der Trigonometrie suchst, die in Algebra, Vorkalkül und den ersten Analysis-Themen verwendet werden, dann gehören zu den wichtigsten Gruppen Kehrwert-, Quotienten-, pythagoreische, Gerade-Ungerade-, Kofunktions-, Summen- und Differenz-, Doppelwinkel- und Halbwinkelidentitäten.

Am schnellsten merkt man sie sich, wenn man sie nach ihrem Zweck ordnet. Manche schreiben eine trigonometrische Funktion durch eine andere um, manche verknüpfen $\sin \theta$ und $\cos \theta$, und manche ändern den Winkel von $\theta$ zu $2\theta$ oder $\theta/2$.

Was macht eine Gleichung zu einer trigonometrischen Identität?

Eine Identität ist für jeden Winkel in ihrem Definitionsbereich wahr. Zum Beispiel ist

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

eine Identität, weil sie für jedes $\theta$ gilt.

Dagegen ist

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

keine Identität. Diese Gleichung ist nur für bestimmte Winkel wahr.

Die Bedingung an den Definitionsbereich ist wichtig. Zum Beispiel gilt

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

nur dann, wenn $\cos \theta \neq 0$.

Liste der wichtigsten trigonometrischen Identitäten

Kehrwertidentitäten

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Jede Formel setzt voraus, dass der Nenner nicht null ist.

Quotientenidentitäten

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Diese sind bei Vereinfachungsaufgaben oft der erste Schritt, weil sie alles in $\sin$ und $\cos$ umschreiben.

Pythagoreische Identitäten

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Die erste Identität ist die Grundlage für die beiden anderen.

Gerade-Ungerade-Identitäten

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Dasselbe Muster gilt auch für die Kehrwertfunktionen: $\csc$ und $\cot$ sind ungerade, $\sec$ ist gerade.

Kofunktionsidentitäten

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Diese folgen aus komplementären Winkeln.

Summen- und Differenzidentitäten

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Bei den Tangens-Formeln darf der Nenner nicht null sein.

Doppelwinkelidentitäten

Setze in den Summenformeln $\alpha = \beta = \theta$.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Auch bei der Tangens-Version muss $1 - \tan^2 \theta \neq 0$ gelten.

Halbwinkelidentitäten

Diese erhält man durch Umformen der Doppelwinkel-Formeln.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Für einen Winkel der Form $\theta/2$ lauten die Wurzelformen

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Das Vorzeichen hängt vom Quadranten von $\theta/2$ ab, deshalb darf man das $\pm$ nicht einfach weglassen.

Woher die wichtigsten trigonometrischen Identitäten kommen

Der Einheitskreis liefert die erste pythagoreische Identität

Auf dem Einheitskreis hat der Punkt zum Winkel $\theta$ die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$. Weil jeder Punkt auf diesem Kreis die Gleichung $x^2 + y^2 = 1$ erfüllt, erhält man durch Einsetzen von $x = \cos \theta$ und $y = \sin \theta$

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

Das ist die grundlegende pythagoreische Identität.

Die anderen pythagoreischen Identitäten entstehen durch Division

Falls $\cos \theta \neq 0$, teile

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

durch $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Falls $\sin \theta \neq 0$, erhält man durch Division durch $\sin^2 \theta$

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Doppelwinkelidentitäten folgen aus den Summenformeln

Beginne mit

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

und setze $\alpha = \beta = \theta$:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Die Doppelwinkelidentitäten für Kosinus und Tangens werden auf dieselbe Weise hergeleitet.

Durchgerechnetes Beispiel: einen Doppelwinkelausdruck vereinfachen

Vereinfache

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

für Winkel, für die der ursprüngliche Ausdruck definiert ist.

Verwende die Doppelwinkelidentitäten:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

und

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Setze nun ein:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Dieses Ergebnis gilt nur dort, wo der ursprüngliche Nenner nicht null ist, also $\sin(2\theta) \neq 0$. Diese Bedingung ist wichtig, weil das Kürzen eines Faktors Werte verdecken kann, die von Anfang an ausgeschlossen waren.

Häufige Fehler bei trigonometrischen Identitäten

Das Ignorieren von Einschränkungen im Definitionsbereich ist der Fehler, der die meisten Probleme verursacht. Durch $\sin \theta$ oder $\cos \theta$ zu teilen ist nur dann erlaubt, wenn diese Größe nicht null ist.

Ein weiterer häufiger Fehler ist das Weglassen von $\pm$ in Halbwinkel-Formeln. Die Wurzel allein legt das Vorzeichen des trigonometrischen Werts nicht fest.

Außerdem verwechseln Schülerinnen und Schüler oft $\sin^2 \theta$ mit $\sin(\theta^2)$. Die Schreibweise $\sin^2 \theta$ bedeutet $(\sin \theta)^2$.

Wann trigonometrische Identitäten verwendet werden

Trigonometrische Identitäten tauchen immer dann auf, wenn du einen Ausdruck in eine nützlichere Form umschreiben musst. Dazu gehören das Vereinfachen von Hausaufgaben, der Nachweis, dass zwei Ausdrücke gleich sind, das Lösen trigonometrischer Gleichungen und die Vorbereitung auf Analysis-Themen wie die Integration.

In der Praxis werden viele Aufgaben leichter, sobald alles in $\sin \theta$ und $\cos \theta$ umgeschrieben ist.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Vereinfache

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

mit Doppelwinkelidentitäten und behalte dabei die Definitionsbedingung des ursprünglichen Ausdrucks im Blick. Wenn du danach noch einen weiteren Schritt machen willst, vergleiche dein Ergebnis mit $\tan \theta$.