Identités trigonométriques : liste essentielle

Les identités trigonométriques sont des formules faisant intervenir $\sin$, $\cos$, $\tan$ et les fonctions associées, qui sont vraies pour tout angle où les deux membres sont définis. Si vous cherchez les identités trigonométriques usuelles utilisées en algèbre, en prépa-calcul et au début du calcul, la liste essentielle comprend les identités de réciprocité, de quotient, pythagoriciennes, de parité, de cofonction, de somme et différence, d’angle double et d’angle moitié.

Le moyen le plus rapide de bien les retenir est de les regrouper par usage. Certaines réécrivent une fonction trigonométrique en fonction d’une autre, certaines relient $\sin \theta$ et $\cos \theta$, et d’autres transforment l’angle de $\theta$ en $2\theta$ ou $\theta/2$.

Qu’est-ce qui fait d’une équation une identité trigonométrique ?

Une identité est vraie pour tout angle de son domaine. Par exemple,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

est une identité, car elle est vraie pour tout $\theta$.

En revanche,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

n’est pas une identité. Elle n’est vraie que pour certains angles.

La condition de domaine est importante. Par exemple,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

n’est vraie que lorsque $\cos \theta \neq 0$.

Liste des identités trigonométriques essentielles

Identités de réciprocité

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Chaque formule exige que le dénominateur soit non nul.

Identités de quotient

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Elles constituent souvent la première étape dans les exercices de simplification, car elles permettent de tout réécrire en fonction de $\sin$ et $\cos$.

Identités pythagoriciennes

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

La première identité est à l’origine des deux autres.

Identités de parité

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Le même schéma s’étend aux fonctions réciproques : $\csc$ et $\cot$ sont impaires, tandis que $\sec$ est paire.

Identités de cofonction

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Elles proviennent des angles complémentaires.

Identités de somme et de différence

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Pour les formules de la tangente, le dénominateur doit être non nul.

Identités d’angle double

On pose $\alpha = \beta = \theta$ dans les formules de somme d’angles.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

La version pour la tangente exige aussi que $1 - \tan^2 \theta \neq 0$.

Identités d’angle moitié

Elles proviennent d’une réorganisation des formules d’angle double.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Pour un angle écrit sous la forme $\theta/2$, les formes avec racine carrée sont

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

Le signe dépend du quadrant de $\theta/2$, donc on ne peut pas supprimer le $\pm$ sans réflexion.

D’où viennent les principales identités trigonométriques

Le cercle trigonométrique donne la première identité pythagoricienne

Sur le cercle trigonométrique, le point d’angle $\theta$ est $(\cos \theta, \sin \theta)$. Comme tout point de ce cercle vérifie $x^2 + y^2 = 1$, en remplaçant $x = \cos \theta$ et $y = \sin \theta$, on obtient

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

C’est l’identité pythagoricienne de base.

Les autres identités pythagoriciennes viennent d’une division

Si $\cos \theta \neq 0$, on divise

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

par $\cos^2 \theta$ :

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Si $\sin \theta \neq 0$, en divisant par $\sin^2 \theta$, on obtient

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

Les identités d’angle double viennent des formules de somme d’angles

On part de

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

et on pose $\alpha = \beta = \theta$ :

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Les identités d’angle double du cosinus et de la tangente se déduisent de la même manière.

Exemple détaillé : simplifier une expression avec angle double

Simplifier

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

pour les angles où l’expression d’origine est définie.

Utilisons les identités d’angle double :

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

et

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

On remplace alors :

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Cette conclusion n’est valable que là où le dénominateur d’origine est non nul, donc lorsque $\sin(2\theta) \neq 0$. Cette condition est importante, car simplifier par un facteur peut masquer des valeurs exclues dès le départ.

Erreurs fréquentes avec les identités trigonométriques

Ignorer les restrictions de domaine est l’erreur qui cause le plus de difficultés. Diviser par $\sin \theta$ ou $\cos \theta$ n’est valable que lorsque cette quantité n’est pas nulle.

Une autre erreur fréquente consiste à supprimer le $\pm$ dans les formules d’angle moitié. La racine carrée seule ne détermine pas le signe de la valeur trigonométrique.

Les élèves confondent aussi $\sin^2 \theta$ et $\sin(\theta^2)$. La notation $\sin^2 \theta$ signifie $(\sin \theta)^2$.

Quand utilise-t-on les identités trigonométriques ?

Les identités trigonométriques apparaissent chaque fois qu’il faut réécrire une expression sous une forme plus utile. Cela inclut la simplification d’exercices, la démonstration que deux expressions sont égales, la résolution d’équations trigonométriques et la préparation à des notions de calcul comme l’intégration.

En pratique, beaucoup de problèmes deviennent plus simples une fois que tout est réécrit en fonction de $\sin \theta$ et $\cos \theta$.

Essayez un problème similaire

Simplifiez

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

à l’aide des identités d’angle double, en gardant à l’esprit la condition de domaine de l’expression d’origine. Si vous voulez aller plus loin, comparez ensuite votre résultat à $\tan \theta$.