标准差 | GPAI STEM

标准差衡量的是数据值与均值之间的典型距离。标准差较小，表示数据值都比较接近中心。标准差较大，则表示数据更分散。由于结果保留原始单位，所以它通常比方差更容易解释。

使用小组件比较离散程度

先移动离散程度滑块，再平移中心，最后添加一个离群值。观察哪些变化会影响标准差，哪些变化只是让整个数据集一起移动。

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

标准差告诉你什么

当所有数据值都相同时，标准差才会等于 $0$ 。除此之外，并不存在一个通用的“小”或“大”的标准。这个数值只有结合数据集本身的尺度才有意义。

例如，在一场满分 $100$ 分的考试中，标准差为 $2$ 分可能很小；但在短跑比赛中，标准差为 $2$ 秒可能就很大。具体情境很重要。

总体标准差与样本标准差

只有当你的数据包含了你想描述的整个总体时，才使用总体公式。如果你的数据只是一个样本，用来估计更大的总体，就应该使用样本公式。

对于完整总体：

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

对于样本：

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

其中的 $n-1$ 调整只出现在样本情形中。它用于修正样本均值 $\bar{x}$ 也是由同一组数据估计出来这一事实。

例题：均值相同，离散程度不同

比较下面两组数据：

A 组： $8, 9, 10, 11, 12$
B 组： $6, 8, 10, 12, 14$

两组数据的均值都是 $10$ 。但 B 组更分散，所以它的标准差一定更大。

对于 A 组，相对于均值的离差是 $-2, -1, 0, 1, 2$ 。平方后得到 $4, 1, 0, 1, 4$ ，总和为 $10$ 。如果把这组数据看作总体，那么方差是 $10/5 = 2$ ，所以标准差为

\sqrt{2} \approx 1.41

对于 B 组，离差是 $-4, -2, 0, 2, 4$ 。平方后得到 $16, 4, 0, 4, 16$ ，总和为 $40$ 。总体方差是 $40/5 = 8$ ，所以标准差为

\sqrt{8} \approx 2.83

两组数据的均值相同，但离散程度不同。这正是标准差要刻画的内容。

在探索器中要注意什么

如果把每个数据值都同时移动相同的量，均值会改变，但标准差不会改变。
把数据值拉得离均值更远，会增大标准差。
单个离群值可能会显著改变结果，因为较大的离差会被平方。

自己动手试一试

在探索器中自己试试，输入两组均值相同的数据。保持中心不变，增大离散程度，再看看标准差是否会按你的预期发生变化。

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