Écart-type

L’écart-type mesure la distance typique entre les valeurs d’un ensemble de données et la moyenne. Un faible écart-type signifie que les valeurs restent proches du centre. Un écart-type plus grand signifie que les données sont plus dispersées. Comme le résultat reste dans les unités d’origine, il est généralement plus facile à interpréter que la variance.

Déplacez d’abord le curseur de dispersion, puis décalez le centre, puis ajoutez une valeur aberrante. Observez quels changements modifient l’écart-type et lesquels ne font que déplacer tout l’ensemble de données.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Ce que l’écart-type vous indique

Un écart-type de $0$ n’apparaît que lorsque toutes les valeurs sont identiques. Au-delà, il n’existe pas de seuil universel pour dire qu’il est « petit » ou « grand ». Ce nombre n’a de sens que par rapport à l’échelle de l’ensemble de données.

Par exemple, un écart-type de $2$ points peut être faible dans un examen noté sur $100$ , mais un écart-type de $2$ secondes peut être élevé dans une course courte. Le contexte compte.

Écart-type de population vs écart-type d’échantillon

Utilisez la formule de population uniquement lorsque vos données comprennent l’ensemble complet que vous voulez décrire. Si vos données sont un échantillon utilisé pour estimer une population plus large, utilisez plutôt la formule d’échantillon.

Pour une population complète :

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Pour un échantillon :

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

L’ajustement en $n-1$ n’a d’importance que dans le cas d’un échantillon. Il corrige le fait que la moyenne d’échantillon $\bar{x}$ est estimée à partir des mêmes données.

Exemple détaillé : même moyenne, dispersion différente

Comparez ces deux ensembles de données :

Ensemble A : $8, 9, 10, 11, 12$
Ensemble B : $6, 8, 10, 12, 14$

Les deux ont une moyenne de $10$ . Mais l’ensemble B est plus dispersé, donc son écart-type est forcément plus grand.

Pour l’ensemble A, les écarts à la moyenne sont $-2, -1, 0, 1, 2$ . En les élevant au carré, on obtient $4, 1, 0, 1, 4$ , dont la somme vaut $10$ . Si vous traitez l’ensemble comme une population, la variance est $10/5 = 2$ , donc l’écart-type est

\sqrt{2} \approx 1.41

Pour l’ensemble B, les écarts sont $-4, -2, 0, 2, 4$ . En les élevant au carré, on obtient $16, 4, 0, 4, 16$ , dont la somme vaut $40$ . La variance de population est $40/5 = 8$ , donc l’écart-type est

\sqrt{8} \approx 2.83

Les moyennes sont identiques, mais pas la dispersion. C’est exactement le rôle de l’écart-type.

Ce qu’il faut remarquer dans l’explorateur

Déplacer toutes les valeurs de la même quantité change la moyenne, mais ne change pas l’écart-type.
Éloigner davantage les valeurs de la moyenne augmente l’écart-type.
Une seule valeur aberrante peut beaucoup modifier le résultat, car les écarts les plus grands sont élevés au carré.

Essayez votre propre version

Essayez votre propre version dans l’explorateur avec deux ensembles de données ayant la même moyenne. Gardez le centre fixe, augmentez la dispersion, puis vérifiez si l’écart-type change comme vous l’attendez.

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