Τυπική Απόκλιση

Η τυπική απόκλιση μετρά την τυπική απόσταση των τιμών των δεδομένων από τον μέσο όρο. Μια μικρή τυπική απόκλιση σημαίνει ότι οι τιμές μένουν κοντά στο κέντρο. Μια μεγαλύτερη σημαίνει ότι τα δεδομένα είναι πιο απλωμένα. Επειδή το αποτέλεσμα παραμένει στις αρχικές μονάδες, συνήθως ερμηνεύεται πιο εύκολα από τη διακύμανση.

Μετακίνησε πρώτα τον δείκτη της διασποράς, μετά μετατόπισε το κέντρο και έπειτα πρόσθεσε μια ακραία τιμή. Παρατήρησε ποιες αλλαγές επηρεάζουν την τυπική απόκλιση και ποιες απλώς μετακινούν ολόκληρο το σύνολο δεδομένων.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Τι Σου Δείχνει η Τυπική Απόκλιση

Τυπική απόκλιση $0$ υπάρχει μόνο όταν όλες οι τιμές είναι ίδιες. Πέρα από αυτό, δεν υπάρχει ένα καθολικό όριο για το τι θεωρείται «μικρή» ή «μεγάλη». Ο αριθμός έχει νόημα μόνο σε σχέση με την κλίμακα του συνόλου δεδομένων.

Για παράδειγμα, μια τυπική απόκλιση $2$ μονάδων μπορεί να είναι μικρή σε ένα τεστ $100$ μονάδων, αλλά μια τυπική απόκλιση $2$ δευτερολέπτων μπορεί να είναι μεγάλη σε έναν σύντομο αγώνα. Το πλαίσιο έχει σημασία.

Τυπική Απόκλιση Πληθυσμού έναντι Δείγματος

Χρησιμοποίησε τον τύπο του πληθυσμού μόνο όταν τα δεδομένα σου περιλαμβάνουν ολόκληρη την ομάδα που θέλεις να περιγράψεις. Αν τα δεδομένα σου είναι δείγμα που χρησιμοποιείται για να εκτιμήσει έναν μεγαλύτερο πληθυσμό, χρησιμοποίησε αντί γι’ αυτό τον τύπο του δείγματος.

Για έναν πλήρη πληθυσμό:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Για ένα δείγμα:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Αυτή η προσαρμογή με το $n-1$ έχει σημασία μόνο στην περίπτωση του δείγματος. Διορθώνει το γεγονός ότι ο δειγματικός μέσος $\bar{x}$ εκτιμάται από τα ίδια τα δεδομένα.

Λυμένο Παράδειγμα: Ίδιος Μέσος Όρος, Διαφορετική Διασπορά

Σύγκρινε αυτά τα δύο σύνολα δεδομένων:

Σύνολο A: $8, 9, 10, 11, 12$
Σύνολο B: $6, 8, 10, 12, 14$

Και τα δύο έχουν μέσο όρο $10$ . Όμως το Σύνολο B είναι πιο απλωμένο, άρα πρέπει να έχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση.

Για το Σύνολο A, οι αποκλίσεις από τον μέσο όρο είναι $-2, -1, 0, 1, 2$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε $4, 1, 0, 1, 4$ , που έχουν άθροισμα $10$ . Αν θεωρήσεις το σύνολο ως πληθυσμό, η διακύμανση είναι $10/5 = 2$ , άρα η τυπική απόκλιση είναι

\sqrt{2} \approx 1.41

Για το Σύνολο B, οι αποκλίσεις είναι $-4, -2, 0, 2, 4$ . Υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε $16, 4, 0, 4, 16$ , που έχουν άθροισμα $40$ . Η διακύμανση πληθυσμού είναι $40/5 = 8$ , άρα η τυπική απόκλιση είναι

\sqrt{8} \approx 2.83

Οι μέσοι όροι ταιριάζουν, αλλά η διασπορά όχι. Αυτή είναι ακριβώς η δουλειά της τυπικής απόκλισης.

Τι να Προσέξεις στον Explorer

Αν μετακινήσεις κάθε τιμή κατά το ίδιο ποσό, αλλάζει ο μέσος όρος, αλλά δεν αλλάζει η τυπική απόκλιση.
Αν απομακρύνεις τις τιμές περισσότερο από τον μέσο όρο, η τυπική απόκλιση αυξάνεται.
Μια μόνο ακραία τιμή μπορεί να αλλάξει πολύ το αποτέλεσμα, επειδή οι μεγαλύτερες αποκλίσεις υψώνονται στο τετράγωνο.

Δοκίμασε τη Δική σου Εκδοχή

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή στον explorer με δύο σύνολα δεδομένων που έχουν τον ίδιο μέσο όρο. Κράτησε σταθερό το κέντρο, άνοιξε τη διασπορά και έλεγξε αν η τυπική απόκλιση αλλάζει όπως περιμένεις.

Χρειάζεσαι βοήθεια με μια άσκηση;

Ανέβασε την ερώτησή σου και πάρε επαληθευμένη λύση βήμα-βήμα σε δευτερόλεπτα.

Άνοιξε το GPAI Solver →