平均数——一步一步学会计算平均值

要计算平均数，把所有数值相加，再除以数值的个数。平均数就是通常所说的“平均值”，只有在每个数值都应被同等看待时，它才有意义。

对于数值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，平均数公式是

$$\text{mean} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

每次都按这个顺序来：

1. 把所有数值相加。
2. 数一数一共用了多少个数值。
3. 用总和除以这个个数。

平均数衡量的是什么

平均数用一个数来表示一组数值数据的中心位置。它会用到每一个数值，因此反映的是整组数据，而不只是中间位置。

当数据是数值型，并且每个数值都应具有相同权重时，平均数最有用。如果有些数值应该比其他数值更重要，那么你需要使用加权平均数。

平均数例题：一步一步来

假设四次小测验的分数分别是 $6$、$8$、$7$ 和 $9$。

先把分数相加：

$$6 + 8 + 7 + 9 = 30$$

再数一数一共有多少个分数：

$$n = 4$$

用总分除以个数：

$$\text{mean} = \frac{30}{4} = 7.5$$

所以平均分是 $7.5$。

这个方法适用于任何一组数据：先求总和，再数个数，最后做除法。

平均数什么时候会误导人

平均数很有用，但它并不总是最好的概括方式。

如果某一个数值比其他数值大很多或小很多，它会把平均数拉离人们直觉中的“典型水平”。例如，一组人的平均收入可能会因为一个特别高的收入而上升，即使大多数人的收入都低得多。

在这种情况下，中位数可能更能清楚地描述数据中心。

求平均数时的常见错误

1. 除错了个数。你必须除以数值的个数，而不是最大值，也不是凭感觉猜一个数。
2. 相加时漏掉了某个数。少一个数值，结果就会改变。
3. 在数值不该被同等看待时使用平均数。一个常见例子是不同权重的成绩。
4. 把所有“平均值”都叫作平均数。在日常语言里这种情况很多，但在数学中，平均数、中位数和众数是不同的概念。

什么时候使用平均数

当你想用一个数来概括一组数值数据，并且各个数值应被同等看待时，就可以使用平均数。

常见例子包括考试成绩、短时间内的每日气温，以及每天售出商品数量的平均值。它是统计学中的基础工具，因为计算简单，也便于在不同组之间进行比较。

平均数与中位数

平均数在计算时会用到每一个数值。中位数则只看排序后的中间位置。

如果数据中有明显的离群值，中位数通常更稳定。如果数据比较均衡，而且每个数值都应同等贡献，那么平均数通常是一个很好的首选。

试试类似的问题

取数字 $12$、$15$、$9$、$14$ 和 $10$，一步一步求出它们的平均数。然后把其中一个数改成 $30$，看看平均数变化了多少。这个小练习能清楚地说明：什么时候平均数很有用，什么时候它会被离群值拉偏。