Desviación estándar

La desviación estándar mide la distancia típica entre los valores de los datos y la media. Una desviación estándar pequeña significa que los valores se mantienen cerca del centro. Una más grande significa que los datos están más dispersos. Como el resultado se expresa en las unidades originales, suele ser más fácil de interpretar que la varianza.

Mueve primero el control de dispersión, luego desplaza el centro y después añade un valor atípico. Observa qué cambios afectan a la desviación estándar y cuáles solo desplazan todo el conjunto de datos.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Qué te dice la desviación estándar

Una desviación estándar de $0$ solo ocurre cuando todos los valores son iguales. Fuera de eso, no existe un punto de corte universal para decir que es "pequeña" o "grande". El número solo tiene sentido en relación con la escala del conjunto de datos.

Por ejemplo, una desviación estándar de $2$ puntos puede ser pequeña en un examen de $100$ puntos, pero una desviación estándar de $2$ segundos puede ser grande en una carrera corta. El contexto importa.

Desviación estándar poblacional vs. muestral

Usa la fórmula poblacional solo cuando tus datos incluyen el grupo completo que quieres describir. Si tus datos son una muestra usada para estimar una población mayor, usa en su lugar la fórmula muestral.

Para una población completa:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Para una muestra:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Ese ajuste de $n-1$ importa solo en el caso muestral. Corrige el hecho de que la media muestral $\bar{x}$ se estima a partir de esos mismos datos.

Ejemplo resuelto: misma media, distinta dispersión

Compara estos dos conjuntos de datos:

Conjunto A: $8, 9, 10, 11, 12$
Conjunto B: $6, 8, 10, 12, 14$

Ambos tienen media $10$ . Pero el Conjunto B está más disperso, así que debe tener la desviación estándar mayor.

Para el Conjunto A, las desviaciones respecto de la media son $-2, -1, 0, 1, 2$ . Al elevarlas al cuadrado se obtiene $4, 1, 0, 1, 4$ , que suman $10$ . Si tratas el conjunto como una población, la varianza es $10/5 = 2$ , así que la desviación estándar es

\sqrt{2} \approx 1.41

Para el Conjunto B, las desviaciones son $-4, -2, 0, 2, 4$ . Al elevarlas al cuadrado se obtiene $16, 4, 0, 4, 16$ , que suman $40$ . La varianza poblacional es $40/5 = 8$ , así que la desviación estándar es

\sqrt{8} \approx 2.83

Las medias coinciden, pero la dispersión no. Ese es exactamente el trabajo de la desviación estándar.

Qué debes notar en el explorador

Mover todos los valores en la misma cantidad cambia la media, pero no cambia la desviación estándar.
Alejar más los valores de la media aumenta la desviación estándar.
Un solo valor atípico puede cambiar mucho el resultado porque las desviaciones más grandes se elevan al cuadrado.

Prueba tu propia versión

Prueba tu propia versión en el explorador con dos conjuntos de datos que tengan la misma media. Mantén fijo el centro, aumenta la dispersión y comprueba si la desviación estándar cambia como esperas.

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