Z 分数（Z-Score）怎么计算

Z 分数表示某个数值距离均值有多远，单位是标准差。正因为如此，当你想把一个分数和整组数据进行比较，而不只是单看原始数值时，它就很有用。

基本公式是

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

其中，$x$ 是该数值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

如果 $z$ 为正，说明该数值高于均值。如果 $z$ 为负，说明该数值低于均值。如果 $z = 0$，说明该数值正好等于均值。

如何计算 Z 分数

按下面步骤进行：

1. 从数值 $x$ 开始。
2. 减去均值。
3. 再除以标准差。

整个计算本质上就是：把某个值与均值之间的原始距离，转换成标准化后的距离。

直观理解这个公式

分子 $x - \mu$ 表示这个数值离中心有多远。分母 $\sigma$ 则用数据通常的离散程度，对这个距离进行重新缩放。

所以，Z 分数不只是说“这个分数比平均分高 14 分”。它还说明，对于这组特定数据来说，14 分到底算是小差距还是大差距。

例题演算

假设某次考试成绩是 $84$，班级平均分是 $70$，标准差是 $7$。

把这些数代入公式：

$$z = \frac{84 - 70}{7}$$

先做减法：

$$84 - 70 = 14$$

再做除法：

$$z = \frac{14}{7} = 2$$

这个 Z 分数是 $2$。这表示该成绩比均值高出 $2$ 个标准差。

快速读懂结果的方法

• $z = 1$ 表示高于均值 $1$ 个标准差。
• $z = -1.5$ 表示低于均值 $1.5$ 个标准差。
• 更大的绝对值，例如 $|z| = 3$，表示该数值相对均值较远。

这种解释只对你所使用的均值和标准差成立。如果它们改变了，Z 分数也会随之改变。

常见错误

一个常见错误是用方差去除，而不是用标准差。Z 分数使用的是标准差，不是方差。

另一个错误是忽略符号。$-2$ 的 Z 分数和 $2$ 并不一样。前者在均值以下，后者在均值以上。

另外，也很容易把不同组的数据混在一起。如果均值或标准差不同，同一个分数在一个班里可能有一个 Z 分数，在另一个班里则可能有不同的 Z 分数。

人们什么时候会用 Z 分数

当你想比较不同量表上的数值、找出异常偏高或偏低的观测值，或者把原始数据与正态分布模型联系起来时，Z 分数都很有用。

不过最后一种用途有一个前提：只有在正态模型适用，或者题目明确要求你使用正态模型时，把 Z 分数转换为概率才最有意义。

总体数据与样本数据

在很多统计公式中，Z 分数会写成总体符号的形式：

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

如果你只有样本均值 $\bar{x}$ 和样本标准差 $s$，人们也常常用下面的式子做标准化：

$$\frac{x - \bar{x}}{s}$$

计算步骤是一样的，但如何解释结果，要看这些数值描述的是总体，还是只是一个样本。

自己试一题

任选一个数值、均值和标准差，然后算出它的 Z 分数，并用文字解释结果。如果你想做一个更有帮助的练习，可以再解一道 Z 分数为负的类似题，检查你的解释是否仍然和符号一致。