Simpangan Baku

Simpangan baku mengukur jarak khas antara nilai data dan mean. Simpangan baku yang kecil berarti nilai-nilai tetap dekat dengan pusat. Simpangan baku yang lebih besar berarti data lebih tersebar. Karena hasilnya tetap dalam satuan asli, simpangan baku biasanya lebih mudah ditafsirkan daripada varians.

Gerakkan penggeser sebaran terlebih dahulu, lalu geser pusatnya, kemudian tambahkan pencilan. Perhatikan perubahan mana yang memengaruhi simpangan baku dan mana yang hanya menggeser seluruh kumpulan data.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Apa yang Diberitahukan oleh Simpangan Baku

Simpangan baku sebesar $0$ hanya terjadi ketika semua nilai sama. Selain itu, tidak ada batas universal untuk "kecil" atau "besar". Angka ini hanya bermakna jika dilihat relatif terhadap skala kumpulan data.

Sebagai contoh, simpangan baku sebesar $2$ poin mungkin kecil pada ujian bernilai $100$ poin, tetapi simpangan baku sebesar $2$ detik bisa besar dalam lomba lari jarak pendek. Konteks itu penting.

Simpangan Baku Populasi vs. Sampel

Gunakan rumus populasi hanya ketika data Anda mencakup seluruh kelompok yang ingin dijelaskan. Jika data Anda adalah sampel yang digunakan untuk memperkirakan populasi yang lebih besar, gunakan rumus sampel.

Untuk populasi penuh:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Untuk sampel:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Penyesuaian $n-1$ itu hanya penting pada kasus sampel. Penyesuaian ini memperbaiki fakta bahwa mean sampel $\bar{x}$ diperkirakan dari data yang sama.

Contoh Perhitungan: Mean Sama, Sebaran Berbeda

Bandingkan dua kumpulan data berikut:

Himpunan A: $8, 9, 10, 11, 12$
Himpunan B: $6, 8, 10, 12, 14$

Keduanya memiliki mean $10$ . Namun, Himpunan B lebih tersebar, jadi simpangan bakunya harus lebih besar.

Untuk Himpunan A, deviasi dari mean adalah $-2, -1, 0, 1, 2$ . Jika dikuadratkan menjadi $4, 1, 0, 1, 4$ , yang jumlahnya $10$ . Jika himpunan ini diperlakukan sebagai populasi, variansnya adalah $10/5 = 2$ , sehingga simpangan bakunya adalah

\sqrt{2} \approx 1.41

Untuk Himpunan B, deviasinya adalah $-4, -2, 0, 2, 4$ . Jika dikuadratkan menjadi $16, 4, 0, 4, 16$ , yang jumlahnya $40$ . Varians populasinya adalah $40/5 = 8$ , sehingga simpangan bakunya adalah

\sqrt{8} \approx 2.83

Mean-nya sama, tetapi sebarannya tidak. Itulah tepatnya fungsi simpangan baku.

Hal yang Perlu Diperhatikan di Explorer

Menggeser setiap nilai dengan jumlah yang sama mengubah mean, tetapi tidak mengubah simpangan baku.
Menarik nilai semakin jauh dari mean akan meningkatkan simpangan baku.
Satu pencilan saja dapat banyak mengubah hasil karena deviasi yang lebih besar dikuadratkan.

Coba Versi Anda Sendiri

Coba versi Anda sendiri di explorer dengan dua kumpulan data yang memiliki mean yang sama. Pertahankan pusatnya tetap, perluas sebarannya, lalu periksa apakah simpangan baku berubah seperti yang Anda harapkan.

Butuh bantuan mengerjakan soal?

Unggah pertanyaanmu dan dapatkan solusi terverifikasi langkah demi langkah dalam hitungan detik.

Buka GPAI Solver →

Gunakan Widget untuk Membandingkan Sebaran