Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe mierzy typową odległość wartości danych od średniej. Małe odchylenie standardowe oznacza, że wartości pozostają blisko środka. Większe oznacza, że dane są bardziej rozproszone. Ponieważ wynik pozostaje w tych samych jednostkach co dane, zwykle łatwiej go interpretować niż wariancję.

Użyj widgetu, aby porównać rozrzut

Najpierw przesuń suwak rozrzutu, potem przesuń środek, a następnie dodaj wartość odstającą. Zobacz, które zmiany wpływają na odchylenie standardowe, a które tylko przesuwają cały zbiór danych.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Co mówi odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe równe $0$ występuje tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są takie same. Poza tym nie ma uniwersalnej granicy dla „małego” lub „dużego” wyniku. Ta liczba ma sens tylko w odniesieniu do skali danego zbioru danych.

Na przykład odchylenie standardowe równe $2$ punktom może być małe na egzaminie ocenianym na $100$ punktów, ale odchylenie standardowe równe $2$ sekundom może być duże w krótkim biegu. Kontekst ma znaczenie.

Odchylenie standardowe populacji a próby

Używaj wzoru dla populacji tylko wtedy, gdy Twoje dane obejmują całą grupę, którą chcesz opisać. Jeśli Twoje dane są próbą używaną do oszacowania większej populacji, użyj zamiast tego wzoru dla próby.

Dla całej populacji:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Dla próby:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

To dostosowanie $n-1$ ma znaczenie tylko w przypadku próby. Koryguje ono fakt, że średnia z próby $\bar{x}$ jest oszacowana na podstawie tych samych danych.

Przykład obliczeniowy: ta sama średnia, inny rozrzut

Porównaj te dwa zbiory danych:

Zbiór A: $8, 9, 10, 11, 12$
Zbiór B: $6, 8, 10, 12, 14$

Oba mają średnią równą $10$ . Ale zbiór B jest bardziej rozproszony, więc musi mieć większe odchylenie standardowe.

Dla zbioru A odchylenia od średniej wynoszą $-2, -1, 0, 1, 2$ . Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $4, 1, 0, 1, 4$ , których suma wynosi $10$ . Jeśli potraktujesz ten zbiór jako populację, wariancja wynosi $10/5 = 2$ , więc odchylenie standardowe to

\sqrt{2} \approx 1.41

Dla zbioru B odchylenia wynoszą $-4, -2, 0, 2, 4$ . Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $16, 4, 0, 4, 16$ , których suma wynosi $40$ . Wariancja populacji wynosi $40/5 = 8$ , więc odchylenie standardowe to

\sqrt{8} \approx 2.83

Średnie są takie same, ale rozrzut już nie. Właśnie to pokazuje odchylenie standardowe.

Na co zwrócić uwagę w eksploratorze

Przesunięcie każdej wartości o tę samą wielkość zmienia średnią, ale nie zmienia odchylenia standardowego.
Odsuwanie wartości dalej od średniej zwiększa odchylenie standardowe.
Jedna wartość odstająca może mocno zmienić wynik, ponieważ większe odchylenia są podnoszone do kwadratu.

Wypróbuj własną wersję

Wypróbuj własną wersję w eksploratorze, używając dwóch zbiorów danych o tej samej średniej. Utrzymaj środek bez zmian, zwiększ rozrzut i sprawdź, czy odchylenie standardowe zmienia się tak, jak się spodziewasz.

Potrzebujesz pomocy z zadaniem?

Prześlij pytanie i otrzymaj zweryfikowane rozwiązanie krok po kroku w kilka sekund.

Otwórz GPAI Solver →