Deviazione standard

La deviazione standard misura la distanza tipica tra i valori dei dati e la media. Una deviazione standard piccola significa che i valori restano vicini al centro. Una più grande significa che i dati sono più dispersi. Poiché il risultato resta nelle unità originali, di solito è più facile da interpretare rispetto alla varianza.

Sposta prima il cursore della dispersione, poi cambia il centro, quindi aggiungi un valore anomalo. Osserva quali cambiamenti influenzano la deviazione standard e quali invece spostano soltanto l'intero insieme di dati.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Cosa ti dice la deviazione standard

Una deviazione standard pari a $0$ si ha solo quando tutti i valori sono uguali. A parte questo, non esiste una soglia universale per dire se sia "piccola" o "grande". Il numero ha senso solo in relazione alla scala dell'insieme di dati.

Per esempio, una deviazione standard di $2$ punti può essere piccola in un esame da $100$ punti, ma una deviazione standard di $2$ secondi può essere grande in una gara breve. Il contesto conta.

Deviazione standard della popolazione vs. del campione

Usa la formula della popolazione solo quando i tuoi dati includono l'intero gruppo che vuoi descrivere. Se invece i tuoi dati sono un campione usato per stimare una popolazione più ampia, usa la formula del campione.

Per un'intera popolazione:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Per un campione:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Quella correzione con $n-1$ conta solo nel caso del campione. Serve a correggere il fatto che la media campionaria $\bar{x}$ viene stimata dagli stessi dati.

Esempio svolto: stessa media, dispersione diversa

Confronta questi due insiemi di dati:

Insieme A: $8, 9, 10, 11, 12$
Insieme B: $6, 8, 10, 12, 14$

Entrambi hanno media $10$ . Ma l'insieme B è più disperso, quindi deve avere la deviazione standard più grande.

Per l'insieme A, gli scarti dalla media sono $-2, -1, 0, 1, 2$ . Elevandoli al quadrato si ottiene $4, 1, 0, 1, 4$ , che sommano a $10$ . Se consideri l'insieme come una popolazione, la varianza è $10/5 = 2$ , quindi la deviazione standard è

\sqrt{2} \approx 1.41

Per l'insieme B, gli scarti sono $-4, -2, 0, 2, 4$ . Elevandoli al quadrato si ottiene $16, 4, 0, 4, 16$ , che sommano a $40$ . La varianza della popolazione è $40/5 = 8$ , quindi la deviazione standard è

\sqrt{8} \approx 2.83

Le medie coincidono, ma la dispersione no. Questo è esattamente il compito della deviazione standard.

Cosa osservare nell'explorer

Spostare ogni valore della stessa quantità cambia la media, ma non cambia la deviazione standard.
Allontanare i valori dalla media aumenta la deviazione standard.
Un singolo valore anomalo può cambiare molto il risultato perché gli scarti più grandi vengono elevati al quadrato.

Prova una tua versione

Prova una tua versione nell'explorer con due insiemi di dati che hanno la stessa media. Mantieni fisso il centro, amplia la dispersione e controlla se la deviazione standard cambia come ti aspetti.

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