Standardabweichung

Die Standardabweichung misst den typischen Abstand der Datenwerte vom Mittelwert. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte nahe am Zentrum liegen. Eine größere bedeutet, dass die Daten stärker gestreut sind. Weil das Ergebnis in den ursprünglichen Einheiten bleibt, ist es meist leichter zu interpretieren als die Varianz.

Bewege zuerst den Regler für die Streuung, verschiebe dann das Zentrum und füge anschließend einen Ausreißer hinzu. Beobachte, welche Änderungen die Standardabweichung beeinflussen und welche nur den gesamten Datensatz verschieben.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Was die Standardabweichung aussagt

Eine Standardabweichung von $0$ tritt nur auf, wenn alle Werte gleich sind. Darüber hinaus gibt es keinen allgemeinen Grenzwert für „klein“ oder „groß“. Die Zahl ergibt nur im Verhältnis zur Skala des Datensatzes Sinn.

Zum Beispiel kann eine Standardabweichung von $2$ Punkten in einer Prüfung mit $100$ Punkten klein sein, aber eine Standardabweichung von $2$ Sekunden kann in einem kurzen Rennen groß sein. Der Kontext ist entscheidend.

Populations- vs. Stichproben-Standardabweichung

Verwende die Populationsformel nur dann, wenn deine Daten die gesamte Gruppe enthalten, die du beschreiben willst. Wenn deine Daten eine Stichprobe sind, mit der du eine größere Grundgesamtheit schätzen willst, verwende stattdessen die Stichprobenformel.

Für eine vollständige Population:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Für eine Stichprobe:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Diese Anpassung mit $n-1$ ist nur im Stichprobenfall wichtig. Sie korrigiert dafür, dass der Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ aus denselben Daten geschätzt wird.

Durchgerechnetes Beispiel: Gleicher Mittelwert, unterschiedliche Streuung

Vergleiche diese beiden Datensätze:

Set A: $8, 9, 10, 11, 12$
Set B: $6, 8, 10, 12, 14$

Beide haben den Mittelwert $10$ . Aber Set B ist stärker gestreut und muss deshalb die größere Standardabweichung haben.

Für Set A sind die Abweichungen vom Mittelwert $-2, -1, 0, 1, 2$ . Quadriert ergibt das $4, 1, 0, 1, 4$ , und die Summe ist $10$ . Wenn du den Datensatz als Population behandelst, ist die Varianz $10/5 = 2$ , also ist die Standardabweichung

\sqrt{2} \approx 1.41

Für Set B sind die Abweichungen $-4, -2, 0, 2, 4$ . Quadriert ergibt das $16, 4, 0, 4, 16$ , und die Summe ist $40$ . Die Populationsvarianz ist $40/5 = 8$ , also ist die Standardabweichung

\sqrt{8} \approx 2.83

Die Mittelwerte stimmen überein, aber die Streuung nicht. Genau dafür ist die Standardabweichung da.

Worauf du im Explorer achten solltest

Wenn du jeden Wert um denselben Betrag verschiebst, ändert sich der Mittelwert, aber die Standardabweichung nicht.
Wenn Werte weiter vom Mittelwert entfernt werden, steigt die Standardabweichung.
Ein einzelner Ausreißer kann das Ergebnis stark verändern, weil größere Abweichungen quadriert werden.

Probiere deine eigene Version aus

Probiere im Explorer deine eigene Version mit zwei Datensätzen aus, die denselben Mittelwert haben. Halte das Zentrum fest, vergrößere die Streuung und prüfe, ob sich die Standardabweichung so verändert, wie du es erwartest.

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