Standart Sapma | GPAI STEM

Standart sapma, veri değerleri ile ortalama arasındaki tipik uzaklığı ölçer. Standart sapma küçükse değerler merkeze yakın kalır. Daha büyük bir değer ise verilerin daha geniş bir alana yayıldığını gösterir. Sonuç özgün birimlerle ifade edildiği için, genellikle varyanstan daha kolay yorumlanır.

Yayılımı Karşılaştırmak İçin Aracı Kullanın

Önce yayılım kaydırıcısını hareket ettirin, sonra merkezi kaydırın, ardından bir aykırı değer ekleyin. Hangi değişikliklerin standart sapmayı etkilediğini, hangilerinin ise yalnızca tüm veri kümesini kaydırdığını gözlemleyin.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Standart Sapma Size Ne Söyler?

$0$ standart sapma yalnızca tüm değerler aynı olduğunda ortaya çıkar. Bunun dışında, "küçük" ya da "büyük" için evrensel bir eşik yoktur. Bu sayı ancak veri kümesinin ölçeğine göre anlam kazanır.

Örneğin, $100$ puanlık bir sınavda $2$ puanlık standart sapma küçük olabilir; ancak kısa bir yarışta $2$ saniyelik standart sapma büyük olabilir. Bağlam önemlidir.

Anakitle ve Örneklem Standart Sapması

Anakitle formülünü yalnızca veriniz tanımlamak istediğiniz grubun tamamını içeriyorsa kullanın. Veriniz daha büyük bir anakitleyi tahmin etmek için kullanılan bir örneklemse, bunun yerine örneklem formülünü kullanın.

Tam bir anakitle için:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Bir örneklem için:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Bu $n-1$ düzeltmesi yalnızca örneklem durumunda önemlidir. Çünkü örneklem ortalaması $\bar{x}$ aynı verilerden tahmin edilir.

Çözümlü Örnek: Aynı Ortalama, Farklı Yayılım

Şu iki veri kümesini karşılaştırın:

Küme A: $8, 9, 10, 11, 12$
Küme B: $6, 8, 10, 12, 14$

Her ikisinin de ortalaması $10$ 'dur. Ancak Küme B daha yaygındır, bu yüzden standart sapması daha büyük olmalıdır.

Küme A için ortalamadan sapmalar $-2, -1, 0, 1, 2$ olur. Bunların kareleri $4, 1, 0, 1, 4$ eder ve toplamları $10$ 'dur. Kümeyi anakitle olarak ele alırsanız varyans $10/5 = 2$ olur, dolayısıyla standart sapma

\sqrt{2} \approx 1.41

Küme B için sapmalar $-4, -2, 0, 2, 4$ olur. Bunların kareleri $16, 4, 0, 4, 16$ eder ve toplamları $40$ 'tır. Anakitle varyansı $40/5 = 8$ olduğuna göre standart sapma

\sqrt{8} \approx 2.83

Ortalamalar aynıdır, ama yayılım aynı değildir. Standart sapmanın görevi tam olarak budur.

Keşif Aracında Dikkat Edilecekler

Her değeri aynı miktarda kaydırmak ortalamayı değiştirir, ancak standart sapmayı değiştirmez.
Değerleri ortalamadan daha uzağa çekmek standart sapmayı artırır.
Tek bir aykırı değer sonucu çok değiştirebilir, çünkü büyük sapmaların karesi alınır.

Kendi Sürümünüzü Deneyin

Aynı ortalamayı paylaşan iki veri kümesiyle keşif aracında kendi sürümünüzü deneyin. Merkezi sabit tutun, yayılımı artırın ve standart sapmanın beklediğiniz gibi değişip değişmediğini kontrol edin.

Bir soruyla yardıma mı ihtiyacın var?

Sorunuzu yükleyin ve saniyeler içinde doğrulanmış adım adım çözüm alın.

GPAI Solver Aç →