Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn đo khoảng cách điển hình giữa các giá trị dữ liệu và giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là các giá trị nằm gần trung tâm. Độ lệch chuẩn lớn hơn nghĩa là dữ liệu phân tán rộng hơn. Vì kết quả vẫn giữ nguyên đơn vị ban đầu, nó thường dễ diễn giải hơn phương sai.

Hãy di chuyển thanh trượt độ phân tán trước, sau đó dịch chuyển tâm, rồi thêm một giá trị ngoại lai. Quan sát xem thay đổi nào làm ảnh hưởng đến độ lệch chuẩn và thay đổi nào chỉ làm dịch chuyển toàn bộ tập dữ liệu.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

Độ Lệch Chuẩn Cho Bạn Biết Điều Gì

Độ lệch chuẩn bằng $0$ chỉ xảy ra khi mọi giá trị đều giống nhau. Ngoài ra, không có ngưỡng chung nào cho “nhỏ” hay “lớn”. Con số này chỉ có ý nghĩa khi xét tương quan với thang đo của tập dữ liệu.

Ví dụ, độ lệch chuẩn $2$ điểm có thể là nhỏ trong một bài kiểm tra $100$ điểm, nhưng độ lệch chuẩn $2$ giây có thể là lớn trong một cuộc đua ngắn. Ngữ cảnh rất quan trọng.

Độ Lệch Chuẩn Tổng Thể Và Độ Lệch Chuẩn Mẫu

Chỉ dùng công thức tổng thể khi dữ liệu của bạn bao gồm toàn bộ nhóm mà bạn muốn mô tả. Nếu dữ liệu của bạn là một mẫu dùng để ước lượng một tổng thể lớn hơn, hãy dùng công thức mẫu.

Với một tổng thể đầy đủ:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Với một mẫu:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Điều chỉnh $n-1$ đó chỉ quan trọng trong trường hợp mẫu. Nó hiệu chỉnh cho việc giá trị trung bình mẫu $\bar{x}$ được ước lượng từ chính dữ liệu đó.

Ví Dụ Tính Toán: Cùng Trung Bình, Khác Độ Phân Tán

So sánh hai tập dữ liệu sau:

Tập A: $8, 9, 10, 11, 12$
Tập B: $6, 8, 10, 12, 14$

Cả hai đều có giá trị trung bình là $10$ . Nhưng Tập B phân tán hơn, nên chắc chắn có độ lệch chuẩn lớn hơn.

Với Tập A, các độ lệch so với giá trị trung bình là $-2, -1, 0, 1, 2$ . Bình phương lên được $4, 1, 0, 1, 4$ , có tổng là $10$ . Nếu xem tập này là một tổng thể, phương sai là $10/5 = 2$ , nên độ lệch chuẩn là

\sqrt{2} \approx 1.41

Với Tập B, các độ lệch là $-4, -2, 0, 2, 4$ . Bình phương lên được $16, 4, 0, 4, 16$ , có tổng là $40$ . Phương sai tổng thể là $40/5 = 8$ , nên độ lệch chuẩn là

\sqrt{8} \approx 2.83

Giá trị trung bình giống nhau, nhưng độ phân tán thì không. Đó chính là vai trò của độ lệch chuẩn.

Điều Cần Quan Sát Trong Trình Khám Phá

Dịch chuyển mọi giá trị đi cùng một lượng sẽ làm thay đổi giá trị trung bình, nhưng không làm thay đổi độ lệch chuẩn.
Kéo các giá trị ra xa giá trị trung bình hơn sẽ làm tăng độ lệch chuẩn.
Một giá trị ngoại lai duy nhất có thể làm kết quả thay đổi nhiều vì các độ lệch lớn được bình phương.

Hãy Thử Phiên Bản Của Riêng Bạn

Hãy thử phiên bản của riêng bạn trong trình khám phá với hai tập dữ liệu có cùng giá trị trung bình. Giữ nguyên tâm, tăng độ phân tán, rồi kiểm tra xem độ lệch chuẩn có thay đổi đúng như bạn dự đoán hay không.

Cần trợ giúp giải bài?

Tải câu hỏi lên và nhận lời giải từng bước đã được xác minh trong vài giây.

Mở GPAI Solver →