Desvio padrão

O desvio padrão mede a distância típica entre os valores dos dados e a média. Um desvio padrão pequeno significa que os valores ficam próximos do centro. Um valor maior significa que os dados estão mais dispersos. Como o resultado permanece nas unidades originais, ele costuma ser mais fácil de interpretar do que a variância.

Mova primeiro o controle de dispersão, depois desloque o centro e, em seguida, adicione um valor atípico. Observe quais mudanças afetam o desvio padrão e quais apenas deslocam todo o conjunto de dados.

Standard deviation explorer

Use the same five-point shape, then test three ideas: widening the spread makes the standard deviation grow, shifting every value together keeps it the same, and an outlier can change it fast.

CenterCurrent center: 0SpreadTypical distance pattern: 0, 1, and 2 spread-units from the centerOutlier offsetTurn on the outlier to move one extra point far from the mean.

Include one extra outlier point

FormulaPopulation: sqrt(sum((x - mean)^2) / n)Sample: sqrt(sum((x - mean)^2) / (n - 1))

Number line

Each dot is one value. The red line marks the mean. Standard deviation grows when the dots sit farther from that line.

Current data: -4, -2, 0, 2, 4

SummaryCount: 5Mean: 0Mode: Population standard deviationSum of squared distances: 40Variance: 40 / 5 = 8Standard deviation: 2.828

What to notice

Changing the center shifts the whole group left or right, but it does not change the spread as long as the distances between points stay the same.

An outlier can pull the mean and usually makes the standard deviation larger because one squared distance becomes much bigger than the rest.

Distances from the mean

Value	x - mean	(x - mean)^2
-4	-4	16
-2	-2	4
0	0	0
2	2	4
4	4	16

O que o desvio padrão mostra

Um desvio padrão de $0$ só acontece quando todos os valores são iguais. Fora isso, não existe um limite universal para dizer o que é "pequeno" ou "grande". Esse número só faz sentido em relação à escala do conjunto de dados.

Por exemplo, um desvio padrão de $2$ pontos pode ser pequeno em uma prova de $100$ pontos, mas um desvio padrão de $2$ segundos pode ser grande em uma corrida curta. O contexto importa.

Desvio padrão da população vs. da amostra

Use a fórmula da população apenas quando seus dados incluem todo o grupo que você quer descrever. Se seus dados forem uma amostra usada para estimar uma população maior, use a fórmula da amostra.

Para uma população completa:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Para uma amostra:

s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}

Esse ajuste de $n-1$ importa apenas no caso da amostra. Ele corrige o fato de que a média amostral $\bar{x}$ é estimada a partir dos mesmos dados.

Exemplo resolvido: mesma média, dispersão diferente

Compare estes dois conjuntos de dados:

Conjunto A: $8, 9, 10, 11, 12$
Conjunto B: $6, 8, 10, 12, 14$

Ambos têm média $10$ . Mas o Conjunto B é mais disperso, então ele deve ter o maior desvio padrão.

No Conjunto A, os desvios em relação à média são $-2, -1, 0, 1, 2$ . Ao elevar ao quadrado, obtemos $4, 1, 0, 1, 4$ , cuja soma é $10$ . Se você tratar o conjunto como uma população, a variância é $10/5 = 2$ , então o desvio padrão é

\sqrt{2} \approx 1.41

No Conjunto B, os desvios são $-4, -2, 0, 2, 4$ . Ao elevar ao quadrado, obtemos $16, 4, 0, 4, 16$ , cuja soma é $40$ . A variância populacional é $40/5 = 8$ , então o desvio padrão é

\sqrt{8} \approx 2.83

As médias são iguais, mas a dispersão não. Essa é exatamente a função do desvio padrão.

O que observar no explorador

Mover todos os valores pela mesma quantidade altera a média, mas não altera o desvio padrão.
Afastar os valores da média aumenta o desvio padrão.
Um único valor atípico pode mudar bastante o resultado porque os desvios maiores são elevados ao quadrado.

Teste sua própria versão

Experimente sua própria versão no explorador com dois conjuntos de dados que tenham a mesma média. Mantenha o centro fixo, aumente a dispersão e verifique se o desvio padrão muda da forma que você espera.

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