多项式长除法

多项式长除法是一种手算方法，用来把一个多项式除以另一个多项式。如果你会整数的长除法，那么它的步骤模式是一样的：首项相除、相乘、相减，然后重复。

最关键的停止规则很简单：当余式的次数低于除式的次数时就停止。如果余式是 $0$，说明这个除法正好整除。

为什么多项式长除法可行

在每一步中，你都要选出一个商的项，使它能够消去当前被除式的首项。

这就是为什么第一步永远是：

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

得到这一项商之后，用它去乘整个除式，再做相减。相减后会得到一个新的、次数更低的多项式，接着继续运算。

多项式长除法步骤

1. 把两个多项式都按幂次从高到低排列。
2. 如果有缺少的幂次，补上系数为 $0$ 的项。
3. 用当前被除式的首项除以除式的首项。
4. 把结果写到商里。
5. 用这一项商乘以除式。
6. 相减。
7. 移下下一项并重复。

如果各项没有按次数对齐，那么相减这一步就很容易出错。

例题：计算 $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ 除以 $x - 2$

我们要求

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

每一轮的目标都是消去当前的首项。

1. 首项相除

用 $2x^3$ 除以 $x$：

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

所以商的第一项是 $2x^2$。

2. 相乘并相减

用 $2x^2$ 乘以除式：

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

再从原来的被除式中相减：

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. 对新的首项重复操作

现在用 $-x^2$ 除以 $x$：

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

把 $-x$ 写到商里。

相乘：

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

相减：

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. 再做一轮

用 $3x$ 除以 $x$：

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

把 $3$ 写到商里。

相乘：

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

相减：

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

所以余式是 $0$，商为

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

如何检查答案

用商乘以除式：

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

展开可得

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

这与原来的被除式一致。这就说明除法结果是正确的。

常见错误：跳过缺少的幂次

最常见的列式错误，就是忽略了缺少的幂次。比如，把 $x^3 + 4x - 1$ 除以 $x - 1$ 时，你应该先把被除式改写成

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

这个 $0x^2$ 占位项能让每一步相减都保持对齐。没有它，后面的项就可能落到错误的位置上。

什么时候使用多项式长除法

当因式分解不明显、你需要直接求出商和余式，或者你想把一个假分式改写成更合适的形式时，这个方法就很有用。

它也常出现在部分分式分解之前。如果分子的次数大于或等于分母的次数，就要先做多项式长除法。

自己试一题

试着计算下面这个式子：

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

重点注意各项次数要对齐，并且用乘法检查结果。进一步练习时，可以试一个余式不为零的例子，并把答案写成

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$