การหารพหุนามแบบยาว

การหารพหุนามแบบยาวเป็นวิธีแบ่งพหุนามหนึ่งด้วยอีกพหุนามหนึ่งทีละขั้นด้วยมือ ถ้าคุณคุ้นกับการหารยาวของจำนวน รูปแบบก็เหมือนกันคือ หารพจน์นำ คูณ ลบ แล้วทำซ้ำ

กฎสำคัญสำหรับการหยุดนั้นง่ายมาก ให้หยุดเมื่อเศษมีดีกรีต่ำกว่าตัวหาร ถ้าเศษเป็น $0$ แปลว่าหารลงตัว

ทำไมการหารพหุนามแบบยาวจึงใช้ได้

ในแต่ละขั้น คุณจะเลือกพจน์ของผลหารที่ทำให้พจน์นำปัจจุบันของตัวตั้งถูกตัดออก

นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมก้าวแรกจึงเป็นเสมอว่า

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

เมื่อได้พจน์ของผลหารแล้ว ให้นำมันไปคูณกับตัวหารทั้งก้อนแล้วลบ การลบนี้จะสร้างพหุนามใหม่ที่เล็กลงเพื่อใช้ทำต่อ

ขั้นตอนการหารพหุนามแบบยาว

1. เขียนพหุนามทั้งสองให้เรียงตามกำลังจากมากไปน้อย
2. ถ้าจำเป็น ให้เติมพจน์ที่มีกำลังหายไปโดยใช้สัมประสิทธิ์ $0$
3. นำพจน์นำของตัวตั้งปัจจุบันหารด้วยพจน์นำของตัวหาร
4. เขียนผลลัพธ์นั้นลงในผลหาร
5. คูณตัวหารด้วยพจน์ของผลหารนั้น
6. ลบ
7. ดึงพจน์ถัดไปลงมาแล้วทำซ้ำ

ถ้าพจน์ไม่ได้เรียงตามดีกรีให้ตรงกัน ขั้นตอนการลบจะผิดได้ง่ายมาก

ตัวอย่างทำจริง: หาร $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ ด้วย $x - 2$

เราต้องการหา

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

เป้าหมายในแต่ละรอบคือทำให้พจน์นำปัจจุบันหายไป

1. หารพจน์นำ

นำ $2x^3$ หารด้วย $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

ดังนั้นพจน์แรกของผลหารคือ $2x^2$

2. คูณแล้วลบ

คูณ $2x^2$ กับตัวหาร:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

ลบออกจากตัวตั้งเดิม:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. ทำซ้ำกับพจน์นำใหม่

ตอนนี้นำ $-x^2$ หารด้วย $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

เขียน $-x$ ลงในผลหาร

คูณ:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

ลบ:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. อีกหนึ่งรอบ

นำ $3x$ หารด้วย $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

เขียน $3$ ลงในผลหาร

คูณ:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

ลบ:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

ดังนั้นเศษคือ $0$ และผลหารคือ

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

วิธีตรวจคำตอบ

คูณผลหารด้วยตัวหาร:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

เมื่อกระจายพจน์จะได้

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

ซึ่งตรงกับตัวตั้งเดิม นั่นยืนยันว่าการหารถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย: ข้ามกำลังที่หายไป

ข้อผิดพลาดในการตั้งโจทย์ที่พบบ่อยที่สุดคือการข้ามกำลังที่หายไป ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณหาร $x^3 + 4x - 1$ ด้วย $x - 1$ คุณควรเขียนตัวตั้งใหม่เป็น

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

ตัวแทน $0x^2$ นี้ช่วยให้ทุกขั้นของการลบเรียงตรงกัน หากไม่มีมัน พจน์ถัดไปอาจเลื่อนไปอยู่ผิดคอลัมน์ได้

เมื่อไรที่ควรใช้การหารพหุนามแบบยาว

วิธีนี้มีประโยชน์เมื่อการแยกตัวประกอบไม่ชัดเจน เมื่อต้องการหาผลหารและเศษโดยตรง หรือเมื่อต้องการเขียนนิพจน์เศษส่วนเชิงเหตุผลที่ไม่แท้ใหม่

วิธีนี้ยังปรากฏก่อนการแยกเศษส่วนย่อยด้วย ถ้าดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน ต้องทำการหารพหุนามแบบยาวก่อน

ลองทำเอง

ลองทำด้วยตัวเองจาก

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

ให้เน้นการจัดดีกรีให้ตรงกันและตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ สำหรับขั้นต่อไปที่ดี ลองทำกรณีที่มีเศษไม่เป็นศูนย์ แล้วเขียนคำตอบในรูป

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$