Divisione tra polinomi con il metodo in colonna

La divisione tra polinomi con il metodo in colonna è un procedimento passo dopo passo per dividere a mano un polinomio per un altro. Se conosci la divisione in colonna tra numeri, lo schema è lo stesso: dividi il termine principale, moltiplica, sottrai e ripeti.

La regola per fermarsi è semplice. Fermati quando il resto ha grado inferiore a quello del divisore. Se il resto è $0$, la divisione è esatta.

Perché funziona la divisione tra polinomi

A ogni passaggio, scegli il termine del quoziente che annullerà il termine principale attuale del dividendo.

Per questo la prima mossa è sempre:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Una volta trovato quel termine del quoziente, moltiplica per esso tutto il divisore e sottrai. La sottrazione produce un nuovo polinomio, più piccolo, con cui continuare.

Passaggi della divisione tra polinomi

1. Scrivi entrambi i polinomi in ordine decrescente di potenza.
2. Inserisci le potenze mancanti con coefficiente $0$, se necessario.
3. Dividi il termine principale del dividendo corrente per il termine principale del divisore.
4. Scrivi quel risultato nel quoziente.
5. Moltiplica il divisore per quel termine del quoziente.
6. Sottrai.
7. Abbassa il termine successivo e ripeti.

Se i termini non sono allineati per grado, è molto più facile sbagliare il passaggio della sottrazione.

Esempio svolto: dividi $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ per $x - 2$

Vogliamo trovare

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

L’obiettivo in ogni passaggio è annullare il termine principale attuale.

1. Dividi i termini principali

Dividi $2x^3$ per $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Quindi il primo termine del quoziente è $2x^2$.

2. Moltiplica e sottrai

Moltiplica $2x^2$ per il divisore:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Sottrai dal dividendo iniziale:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Ripeti con il nuovo termine principale

Ora dividi $-x^2$ per $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Scrivi $-x$ nel quoziente.

Moltiplica:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Sottrai:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Un ultimo passaggio

Dividi $3x$ per $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Scrivi $3$ nel quoziente.

Moltiplica:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Sottrai:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Quindi il resto è $0$ e il quoziente è

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Come controllare la risposta

Moltiplica il quoziente per il divisore:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Sviluppando si ottiene

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

che coincide con il dividendo iniziale. Questo conferma che la divisione è corretta.

Errore comune: saltare una potenza mancante

L’errore di impostazione più comune è saltare una potenza mancante. Per esempio, se dividi $x^3 + 4x - 1$ per $x - 1$, dovresti riscrivere il dividendo come

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Quel segnaposto $0x^2$ mantiene allineate tutte le sottrazioni. Senza di esso, i termini successivi possono finire nella colonna sbagliata.

Quando si usa la divisione tra polinomi

Questo metodo è utile quando la scomposizione non è immediata, quando ti servono direttamente quoziente e resto, oppure quando vuoi riscrivere un’espressione razionale impropria.

Compare anche prima della scomposizione in fratti semplici. Se il grado del numeratore è almeno grande quanto quello del denominatore, prima si esegue la divisione tra polinomi.

Prova da solo

Prova con

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Concentrati sull’allineamento dei gradi e sul controllo del risultato tramite moltiplicazione. Come passo successivo utile, prova un caso con resto non nullo e scrivi la risposta come

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$