Κάθετη διαίρεση πολυωνύμων

Η κάθετη διαίρεση πολυωνύμων είναι μια βήμα-βήμα μέθοδος για να διαιρείς ένα πολυώνυμο με ένα άλλο με το χέρι. Αν ξέρεις την κάθετη διαίρεση αριθμών, το μοτίβο είναι το ίδιο: διαιρείς τον πρώτο όρο, πολλαπλασιάζεις, αφαιρείς και επαναλαμβάνεις.

Ο βασικός κανόνας για το πότε σταματάς είναι απλός. Σταματάς όταν το υπόλοιπο έχει μικρότερο βαθμό από τον διαιρέτη. Αν το υπόλοιπο είναι $0$, η διαίρεση βγαίνει ακριβώς.

Γιατί λειτουργεί η κάθετη διαίρεση πολυωνύμων

Σε κάθε στάδιο, επιλέγεις τον όρο του πηλίκου που θα μηδενίσει τον τρέχοντα πρώτο όρο του διαιρετέου.

Γι’ αυτό η πρώτη κίνηση είναι πάντα:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Μόλις βρεις αυτόν τον όρο του πηλίκου, πολλαπλασιάζεις με αυτόν ολόκληρο τον διαιρέτη και αφαιρείς. Η αφαίρεση δημιουργεί ένα νέο, μικρότερο πολυώνυμο με το οποίο συνεχίζεις.

Βήματα της κάθετης διαίρεσης πολυωνύμων

1. Γράψε και τα δύο πολυώνυμα σε φθίνουσες δυνάμεις.
2. Πρόσθεσε τις δυνάμεις που λείπουν με συντελεστή $0$, αν χρειάζεται.
3. Διαίρεσε τον πρώτο όρο του τρέχοντος διαιρετέου με τον πρώτο όρο του διαιρέτη.
4. Γράψε αυτό το αποτέλεσμα στο πηλίκο.
5. Πολλαπλασίασε τον διαιρέτη με αυτόν τον όρο του πηλίκου.
6. Αφαίρεσε.
7. Κατέβασε τον επόμενο όρο και επανάλαβε.

Αν οι όροι δεν είναι ευθυγραμμισμένοι κατά βαθμό, είναι πολύ πιο εύκολο να γίνει λάθος στο βήμα της αφαίρεσης.

Λυμένο παράδειγμα: Διαίρεσε το $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ με το $x - 2$

Θέλουμε να βρούμε

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

Ο στόχος σε κάθε γύρο είναι να μηδενιστεί ο τρέχων πρώτος όρος.

1. Διαίρεσε τους πρώτους όρους

Διαίρεσε το $2x^3$ με το $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Άρα ο πρώτος όρος του πηλίκου είναι $2x^2$.

2. Πολλαπλασίασε και αφαίρεσε

Πολλαπλασίασε το $2x^2$ με τον διαιρέτη:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Αφαίρεσε από το αρχικό διαιρετέο:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Επανάλαβε με τον νέο πρώτο όρο

Τώρα διαίρεσε το $-x^2$ με το $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Γράψε το $-x$ στο πηλίκο.

Πολλαπλασίασε:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Αφαίρεσε:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Ένας ακόμη γύρος

Διαίρεσε το $3x$ με το $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Γράψε το $3$ στο πηλίκο.

Πολλαπλασίασε:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Αφαίρεσε:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Άρα το υπόλοιπο είναι $0$, και το πηλίκο είναι

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Πώς να ελέγξεις την απάντησή σου

Πολλαπλασίασε το πηλίκο με τον διαιρέτη:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Αναπτύσσοντας παίρνεις

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

που ταιριάζει με το αρχικό διαιρετέο. Αυτό επιβεβαιώνει ότι η διαίρεση είναι σωστή.

Συνηθισμένο λάθος: Παράλειψη μιας δύναμης που λείπει

Το πιο συνηθισμένο λάθος στο στήσιμο είναι να παραλείπεται μια δύναμη που λείπει. Για παράδειγμα, αν διαιρείς το $x^3 + 4x - 1$ με το $x - 1$, πρέπει να ξαναγράψεις το διαιρετέο ως

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Αυτό το $0x^2$ ως θέση-κράτησης κρατά κάθε αφαίρεση σωστά ευθυγραμμισμένη. Χωρίς αυτό, οι επόμενοι όροι μπορεί να μετακινηθούν σε λάθος στήλη.

Πότε χρησιμοποιείς την κάθετη διαίρεση πολυωνύμων

Αυτή η μέθοδος είναι χρήσιμη όταν η παραγοντοποίηση δεν είναι προφανής, όταν χρειάζεσαι άμεσα το πηλίκο και το υπόλοιπο ή όταν θέλεις να ξαναγράψεις μια μη γνήσια ρητή παράσταση.

Εμφανίζεται επίσης πριν από την ανάλυση σε μερικά κλάσματα. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλος όσο ο βαθμός του παρονομαστή, προηγείται η κάθετη διαίρεση πολυωνύμων.

Δοκίμασε ένα μόνος σου

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Εστίασε στην ευθυγράμμιση των βαθμών και στον έλεγχο του αποτελέσματος με πολλαπλασιασμό. Ως χρήσιμο επόμενο βήμα, δοκίμασε μια περίπτωση με μη μηδενικό υπόλοιπο και γράψε την απάντηση ως

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$