다항식의 조립제법이 아닌 긴 나눗셈

다항식 긴 나눗셈은 한 다항식을 다른 다항식으로 손으로 나누는 단계별 방법입니다. 숫자의 긴 나눗셈을 알고 있다면 방식은 같습니다. 최고차항을 나누고, 곱하고, 빼고, 다시 반복하면 됩니다.

멈추는 기준도 간단합니다. 나머지의 차수가 제수의 차수보다 낮아지면 멈춥니다. 나머지가 $0$이면 나눗셈이 딱 떨어진 것입니다.

다항식 긴 나눗셈이 성립하는 이유

각 단계에서는 피제수의 현재 최고차항이 없어지도록 만드는 몫의 항을 선택합니다.

그래서 첫 단계는 항상 다음과 같습니다.

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

이렇게 몫의 항을 구한 뒤에는 제수 전체에 그 항을 곱하고 뺍니다. 그러면 더 작은 새로운 다항식이 생기고, 그 식으로 계속 계산할 수 있습니다.

다항식 긴 나눗셈 단계

1. 두 다항식을 모두 차수가 높은 순서대로 씁니다.
2. 필요하면 빠진 차수의 항을 계수 $0$으로 채웁니다.
3. 현재 피제수의 최고차항을 제수의 최고차항으로 나눕니다.
4. 그 결과를 몫에 적습니다.
5. 제수에 그 몫의 항을 곱합니다.
6. 뺍니다.
7. 다음 항을 내려 적고 반복합니다.

항들이 차수별로 맞춰져 있지 않으면, 뺄셈 단계에서 실수하기가 훨씬 쉬워집니다.

예제: $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$을 $x - 2$로 나누기

우리는 다음을 구하려고 합니다.

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

각 단계의 목표는 현재의 최고차항을 없애는 것입니다.

1. 최고차항 나누기

$2x^3$을 $x$로 나눕니다.

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

따라서 몫의 첫 항은 $2x^2$입니다.

2. 곱하고 빼기

$2x^2$에 제수를 곱합니다.

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

이제 원래 피제수에서 뺍니다.

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. 새로운 최고차항으로 반복하기

이제 $-x^2$를 $x$로 나눕니다.

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

몫에 $-x$를 적습니다.

곱하면

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

빼면

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. 한 번 더 반복하기

$3x$를 $x$로 나눕니다.

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

몫에 $3$을 적습니다.

곱하면

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

빼면

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

따라서 나머지는 $0$이고, 몫은

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

답 확인하는 방법

몫에 제수를 곱해 봅니다.

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

전개하면

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

즉 원래 피제수와 같습니다. 따라서 나눗셈이 맞았다는 뜻입니다.

흔한 실수: 빠진 차수 건너뛰기

가장 흔한 준비 단계의 실수는 빠진 차수를 그냥 넘기는 것입니다. 예를 들어 $x^3 + 4x - 1$을 $x - 1$로 나눌 때는 피제수를 다음처럼 다시 써야 합니다.

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

이 $0x^2$라는 자리표시 항이 있어야 모든 뺄셈이 정확히 맞춰집니다. 이것이 없으면 뒤의 항들이 잘못된 열로 밀려 들어갈 수 있습니다.

다항식 긴 나눗셈은 언제 쓰나요?

이 방법은 인수분해가 바로 보이지 않을 때, 몫과 나머지를 직접 구해야 할 때, 또는 가분수 형태의 유리식을 다시 써야 할 때 유용합니다.

부분분수 분해를 하기 전에 등장하기도 합니다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같다면, 먼저 다항식 긴 나눗셈을 해야 합니다.

직접 하나 풀어 보기

다음 식으로 직접 연습해 보세요.

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

차수를 맞춰 쓰는 것과, 곱셈으로 결과를 확인하는 데 집중해 보세요. 다음 단계로는 나머지가 $0$이 아닌 경우도 풀어 보고, 답을 다음과 같이 써 보세요.

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$