解一元二次方程

要解一元二次方程，先把它改写成标准形式，再求出使方程成立的 $x$ 的值。标准形式是

$$ax^2 + bx + c = 0$$

其中 $a \ne 0$。大多数题目都归结为三种方法：因式分解法、配方法，或求根公式。关键能力是根据眼前的方程选择最简单的方法。

解一元二次方程是什么意思

你要找的是方程的根，也就是它的解。在图像上，这些解就是抛物线与 $x$ 轴相交时对应的 $x$ 值。

一元二次方程可能有两个实数解、一个重根，或者没有实数解。如果在复数范围内讨论，那么每个一元二次方程按重数计算都仍然有两个解。

如何选择方法

在开始代数运算之前，先把所有项移到方程一边，使另一边为 $0$。这样更容易看清结构，也更方便判断适合用哪种方法。

• 如果式子可以直接分解因式，因式分解法通常最快。
• 如果方程接近完全平方的形式，配方法会比较高效。
• 如果这两种方法都不方便，求根公式适用于任何一元二次方程。

还有一个有用的快捷判断量：判别式，

$$b^2 - 4ac$$

它可以告诉你将会得到哪一类实数解。

• 如果 $b^2 - 4ac > 0$，有两个不同的实数解。
• 如果 $b^2 - 4ac = 0$，有一个重根。
• 如果 $b^2 - 4ac < 0$，没有实数解。

判别式本身不能直接解出方程，但它能在你开始计算前，先告诉你什么样的答案才合理。

三种主要方法

因式分解法

当一元二次式可以改写成乘积形式时，就可以使用因式分解法，例如

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

然后使用零乘积法则：如果一个乘积等于 $0$，那么至少有一个因式等于 $0$。所以解是 $x = 2$ 和 $x = 3$。

配方法

配方法是把一元二次方程改写成下面这样的形式：

$$(x - h)^2 = k$$

当因式分解不方便，而你又希望把方程看成一个平方表达式时，这种方法特别有用。

求根公式

当方程写成标准形式时，求根公式总是适用：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

这是最稳妥的通用方法，但如果方程本身很容易因式分解，它不一定是最快的。

例题：解 $x^2 - 5x + 6 = 0$

这个方程已经是标准形式，所以先检查它能不能因式分解。你需要找到两个数，它们相乘等于 $6$，相加等于 $-5$。这两个数是 $-2$ 和 $-3$，所以

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

现在解

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

再令每个因式分别等于零：

$$x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0$$

所以解为

$$x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3$$

把两个答案代回原方程检验：

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

两个检验都成立，所以解是正确的。

常见错误

一个常见错误是在没有先把所有项移到同一边之前，就急着选方法。例如，解 $x^2 = 5x - 6$ 时，先改写成 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 会容易得多。

另一个错误是漏掉一个解。一元二次方程可能有两个实数解，所以在因式分解后，或者使用求根公式中的 $\pm$ 时，要确保两种情况都保留下来。

第三个错误是在使用求根公式时，把 $a$、$b$ 或 $c$ 的符号看错。这通常发生在方程还没有先写成标准形式的时候。

这类方程用在哪里

一元二次方程会出现在代数、图像分析、最优化和运动问题中。如果一个关系式里含有平方项，那么解一元二次方程往往就是求出有实际意义的 $x$ 值的关键一步。

具体用哪种方法取决于方程本身。容易分解因式的方程适合用模式识别快速处理，而更复杂的方程通常更适合用求根公式。

试试类似题目

试着解 $x^2 - 7x + 12 = 0$，并且在计算前先选择方法。一个很好的下一步练习是分别用因式分解法和求根公式来解同一个方程，再比较哪种方法更直接。