Phép chia đa thức kiểu đặt tính

Phép chia đa thức kiểu đặt tính là cách chia từng bước một đa thức cho một đa thức khác bằng tay. Nếu bạn đã biết phép chia số theo kiểu đặt tính, quy trình cũng giống như vậy: chia hạng tử đầu, nhân, trừ, rồi lặp lại.

Quy tắc dừng rất đơn giản. Dừng khi số dư có bậc nhỏ hơn số chia. Nếu số dư là $0$, phép chia là chia hết.

Vì Sao Phép Chia Đa Thức Kiểu Đặt Tính Hoạt Động

Ở mỗi bước, bạn chọn hạng tử của thương sao cho nó triệt tiêu hạng tử đầu hiện tại của đa thức bị chia.

Vì thế, bước đầu tiên luôn là:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Khi đã có hạng tử đó của thương, hãy nhân toàn bộ số chia với nó rồi trừ đi. Phép trừ sẽ tạo ra một đa thức mới, nhỏ hơn để tiếp tục.

Các Bước Chia Đa Thức Kiểu Đặt Tính

1. Viết cả hai đa thức theo thứ tự lũy thừa giảm dần.
2. Chèn các lũy thừa bị thiếu với hệ số $0$ nếu cần.
3. Chia hạng tử đầu của đa thức bị chia hiện tại cho hạng tử đầu của số chia.
4. Viết kết quả đó vào thương.
5. Nhân số chia với hạng tử thương đó.
6. Trừ.
7. Hạ hạng tử tiếp theo xuống rồi lặp lại.

Nếu các hạng tử không được xếp thẳng hàng theo bậc, bước trừ sẽ rất dễ bị sai.

Ví Dụ Mẫu: Chia $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ cho $x - 2$

Ta cần tìm

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

Mục tiêu ở mỗi lượt là triệt tiêu hạng tử đầu hiện tại.

1. Chia các hạng tử đầu

Chia $2x^3$ cho $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Vậy hạng tử đầu tiên của thương là $2x^2$.

2. Nhân rồi trừ

Nhân $2x^2$ với số chia:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Trừ khỏi đa thức bị chia ban đầu:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Lặp lại với hạng tử đầu mới

Bây giờ chia $-x^2$ cho $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Viết $-x$ vào thương.

Nhân:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Trừ:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Thêm một lượt nữa

Chia $3x$ cho $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Viết $3$ vào thương.

Nhân:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Trừ:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Vậy số dư là $0$, và thương là

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Cách Kiểm Tra Đáp Án

Nhân thương với số chia:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Khai triển ta được

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

trùng với đa thức bị chia ban đầu. Điều đó xác nhận phép chia là đúng.

Lỗi Thường Gặp: Bỏ Qua Một Lũy Thừa Bị Thiếu

Lỗi thiết lập thường gặp nhất là bỏ qua một lũy thừa bị thiếu. Ví dụ, nếu bạn chia $x^3 + 4x - 1$ cho $x - 1$, bạn nên viết lại đa thức bị chia thành

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Hạng tử giữ chỗ $0x^2$ giúp mọi phép trừ được thẳng hàng. Nếu không có nó, các hạng tử phía sau có thể bị lệch sang cột sai.

Khi Nào Dùng Phép Chia Đa Thức Kiểu Đặt Tính

Phương pháp này hữu ích khi việc phân tích nhân tử không rõ ràng, khi bạn cần tìm trực tiếp thương và số dư, hoặc khi bạn muốn viết lại một phân thức hữu tỉ không đúng.

Nó cũng xuất hiện trước khi phân tích thành phân thức đơn giản. Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số, thì cần thực hiện phép chia đa thức kiểu đặt tính trước.

Tự Thử Một Bài

Hãy thử tự làm với

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Hãy tập trung vào việc xếp thẳng hàng theo bậc và kiểm tra kết quả bằng phép nhân. Để luyện thêm, hãy thử một trường hợp có số dư khác $0$ và viết đáp án dưới dạng

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$