Dzielenie pisemne wielomianów

Dzielenie pisemne wielomianów to metoda krok po kroku, która pozwala ręcznie podzielić jeden wielomian przez drugi. Jeśli znasz pisemne dzielenie liczb, schemat jest taki sam: podziel wyraz wiodący, pomnóż, odejmij i powtórz.

Najważniejsza zasada zakończenia jest prosta. Kończysz, gdy reszta ma stopień niższy niż dzielnik. Jeśli reszta wynosi $0$, dzielenie jest dokładne.

Dlaczego dzielenie pisemne wielomianów działa

Na każdym etapie wybierasz taki wyraz ilorazu, który skasuje bieżący wyraz wiodący dzielnej.

Dlatego pierwszy krok zawsze ma postać:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Gdy masz już ten wyraz ilorazu, mnożysz przez niego cały dzielnik i odejmujesz. To odejmowanie tworzy nowy, mniejszy wielomian, z którym kontynuujesz obliczenia.

Kroki dzielenia pisemnego wielomianów

1. Zapisz oba wielomiany według malejących potęg.
2. Wstaw brakujące potęgi ze współczynnikiem $0$, jeśli trzeba.
3. Podziel wyraz wiodący bieżącej dzielnej przez wyraz wiodący dzielnika.
4. Zapisz ten wynik w ilorazie.
5. Pomnóż dzielnik przez ten wyraz ilorazu.
6. Odejmij.
7. Przepisz kolejny wyraz i powtórz.

Jeśli wyrazy nie są ustawione według stopnia, w kroku odejmowania znacznie łatwiej o błąd.

Przykład: Podziel $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ przez $x - 2$

Chcemy obliczyć

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

Celem w każdej rundzie jest skasowanie bieżącego wyrazu wiodącego.

1. Podziel wyrazy wiodące

Podziel $2x^3$ przez $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Zatem pierwszym wyrazem ilorazu jest $2x^2$.

2. Pomnóż i odejmij

Pomnóż $2x^2$ przez dzielnik:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Odejmij od początkowej dzielnej:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Powtórz dla nowego wyrazu wiodącego

Teraz podziel $-x^2$ przez $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Zapisz $-x$ w ilorazie.

Pomnóż:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Odejmij:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Jeszcze jedna runda

Podziel $3x$ przez $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Zapisz $3$ w ilorazie.

Pomnóż:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Odejmij:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Zatem reszta wynosi $0$, a iloraz to

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Jak sprawdzić odpowiedź

Pomnóż iloraz przez dzielnik:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Po rozwinięciu otrzymujesz

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

czyli dokładnie początkową dzielną. To potwierdza, że dzielenie zostało wykonane poprawnie.

Typowy błąd: pominięcie brakującej potęgi

Najczęstszy błąd na etapie zapisu to pominięcie brakującej potęgi. Na przykład, jeśli dzielisz $x^3 + 4x - 1$ przez $x - 1$, powinieneś przepisać dzielną jako

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Ten zastępczy wyraz $0x^2$ sprawia, że każde odejmowanie pozostaje wyrównane. Bez niego późniejsze wyrazy mogą przesunąć się do niewłaściwej kolumny.

Kiedy stosuje się dzielenie pisemne wielomianów

Ta metoda jest przydatna, gdy rozkład na czynniki nie jest oczywisty, gdy potrzebujesz bezpośrednio ilorazu i reszty albo gdy chcesz przekształcić niewłaściwe wyrażenie wymierne.

Pojawia się też przed rozkładem na ułamki proste. Jeśli stopień licznika jest co najmniej tak duży jak stopień mianownika, najpierw wykonuje się dzielenie pisemne wielomianów.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj wykonać podobne działanie dla

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Skup się na ustawieniu wyrazów według stopnia i sprawdzeniu wyniku przez mnożenie. Jako kolejny krok spróbuj przykładu z niezerową resztą i zapisz odpowiedź w postaci

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$