Pembagian Bersusun Polinomial

Pembagian bersusun polinomial adalah cara langkah demi langkah untuk membagi satu polinomial dengan polinomial lain secara manual. Jika Anda sudah mengenal pembagian bersusun bilangan, polanya sama: bagi suku terdepan, kalikan, kurangkan, lalu ulangi.

Aturan berhenti utamanya sederhana. Berhenti saat sisa memiliki derajat lebih rendah daripada pembagi. Jika sisanya $0$, pembagian habis tanpa sisa.

Mengapa Pembagian Bersusun Polinomial Bekerja

Pada setiap tahap, Anda memilih suku hasil bagi yang akan menghilangkan suku terdepan dividen saat ini.

Itulah sebabnya langkah pertama selalu:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Setelah mendapatkan suku hasil bagi itu, kalikan seluruh pembagi dengannya lalu kurangkan. Pengurangan ini menghasilkan polinomial baru yang lebih kecil untuk dilanjutkan.

Langkah-Langkah Pembagian Bersusun Polinomial

1. Tulis kedua polinomial dalam urutan pangkat menurun.
2. Masukkan pangkat yang hilang dengan koefisien $0$ jika perlu.
3. Bagi suku terdepan dari dividen saat ini dengan suku terdepan pembagi.
4. Tulis hasilnya pada hasil bagi.
5. Kalikan pembagi dengan suku hasil bagi tersebut.
6. Kurangkan.
7. Turunkan suku berikutnya dan ulangi.

Jika suku-sukunya tidak sejajar berdasarkan derajat, langkah pengurangan akan jauh lebih mudah salah.

Contoh: Bagi $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ dengan $x - 2$

Kita ingin mencari

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

Tujuan pada setiap putaran adalah menghilangkan suku terdepan saat ini.

1. Bagi suku terdepan

Bagi $2x^3$ dengan $x$:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Jadi suku pertama dari hasil bagi adalah $2x^2$.

2. Kalikan dan kurangkan

Kalikan $2x^2$ dengan pembagi:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Kurangkan dari dividen semula:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Ulangi dengan suku terdepan yang baru

Sekarang bagi $-x^2$ dengan $x$:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Tulis $-x$ pada hasil bagi.

Kalikan:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Kurangkan:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Satu putaran lagi

Bagi $3x$ dengan $x$:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Tulis $3$ pada hasil bagi.

Kalikan:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Kurangkan:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Jadi sisanya adalah $0$, dan hasil baginya adalah

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Cara Memeriksa Jawaban Anda

Kalikan hasil bagi dengan pembagi:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Jika dikembangkan, hasilnya

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

yang sama dengan dividen semula. Itu menegaskan bahwa pembagiannya benar.

Kesalahan Umum: Melewatkan Pangkat yang Hilang

Kesalahan penyiapan yang paling umum adalah melewatkan pangkat yang hilang. Misalnya, jika Anda membagi $x^3 + 4x - 1$ dengan $x - 1$, Anda seharusnya menulis ulang dividennya sebagai

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Pengisi $0x^2$ itu menjaga setiap pengurangan tetap sejajar. Tanpanya, suku-suku berikutnya bisa bergeser ke kolom yang salah.

Kapan Menggunakan Pembagian Bersusun Polinomial

Metode ini berguna saat pemfaktoran tidak langsung terlihat, saat Anda perlu hasil bagi dan sisa secara langsung, atau saat ingin menulis ulang bentuk rasional tak wajar.

Metode ini juga muncul sebelum dekomposisi pecahan parsial. Jika derajat pembilang setidaknya sama besar dengan derajat penyebut, pembagian bersusun polinomial dilakukan terlebih dahulu.

Coba Kerjakan Sendiri

Coba versi Anda sendiri dengan

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Fokuslah pada penyelarasan derajat dan memeriksa hasilnya dengan perkalian. Sebagai langkah lanjutan yang berguna, coba kasus dengan sisa tak nol dan tulis jawabannya sebagai

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$