多項式の筆算による割り算

多項式の筆算による割り算は、1つの多項式を別の多項式で手計算で割るための手順です。整数の筆算の割り算を知っていれば、流れは同じです。先頭の項を割り、かけて、引いて、これを繰り返します。

止めるタイミングのルールはシンプルです。余りの次数が割る式の次数より低くなったら止めます。余りが $0$ なら、割り切れたことになります。

なぜ多項式の筆算による割り算が成り立つのか

各段階では、割られる式の現在の先頭の項を打ち消すような商の項を選びます。

そのため、最初の操作は必ず次になります。

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

この商の項が求まったら、それを割る式全体にかけて引き算します。すると、続けて計算できる、より小さい新しい多項式ができます。

多項式の筆算の手順

1. 両方の多項式を次数の高い順に書く。
2. 必要なら、抜けている次数に係数 $0$ の項を入れる。
3. 現在の割られる式の先頭の項を、割る式の先頭の項で割る。
4. その結果を商に書く。
5. 割る式にその商の項をかける。
6. 引き算する。
7. 次の項を下ろして、繰り返す。

項が次数ごとにきちんとそろっていないと、引き算の段階で間違えやすくなります。

例題：$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ を $x - 2$ で割る

次を求めます。

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

各段階の目標は、その時点の先頭の項を打ち消すことです。

1. 先頭の項を割る

$2x^3$ を $x$ で割ります。

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

したがって、商の最初の項は $2x^2$ です。

2. かけて引く

$2x^2$ を割る式にかけます。

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

これを元の割られる式から引きます。

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. 新しい先頭の項で繰り返す

次に、$-x^2$ を $x$ で割ります。

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

$-x$ を商に書きます。

かけると、

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

引き算すると、

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. もう1回行う

$3x$ を $x$ で割ります。

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

$3$ を商に書きます。

かけると、

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

引き算すると、

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

したがって余りは $0$ で、商は

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

答えの確かめ方

商に割る式をかけます。

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

展開すると、

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

となり、元の割られる式と一致します。これで割り算が正しいと確認できます。

よくあるミス：抜けている次数を飛ばす

最も多い準備段階のミスは、抜けている次数をそのままにしてしまうことです。たとえば、$x^3 + 4x - 1$ を $x - 1$ で割るなら、割られる式は

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1$$

と書き直すべきです。

この $0x^2$ という補助の項があることで、引き算の位置がそろいます。これがないと、後の項がずれて別の列に入ってしまうことがあります。

多項式の筆算を使う場面

この方法は、因数分解がすぐには見えないとき、商と余りを直接求めたいとき、または真分数でない有理式を書き換えたいときに役立ちます。

また、部分分数分解の前にもよく使います。分子の次数が分母の次数以上なら、まず多項式の筆算を行います。

自分でも1問やってみよう

次を自分で解いてみましょう。

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

次数をそろえて書くことと、最後にかけ算で確かめることを意識してください。次の練習として、余りが $0$ でない場合にも挑戦し、答えを

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$

の形で書いてみましょう。