Polinomlarda Uzun Bölme

Polinomlarda uzun bölme, bir polinomu başka bir polinoma elde adım adım bölme yöntemidir. Sayılarda uzun bölmeyi biliyorsanız, düzen aynıdır: baş terimi böl, çarp, çıkar ve tekrarla.

Temel durma kuralı basittir. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olduğunda durun. Kalan $0$ ise bölme tam çıkar.

Polinomlarda Uzun Bölme Neden İşe Yarar?

Her aşamada, bölümden öyle bir terim seçersiniz ki bu terim bölünenin o andaki baş terimini yok eder.

Bu yüzden ilk adım her zaman şudur:

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Bu bölüm terimini bulduktan sonra, bölenin tamamını onunla çarpıp çıkarırsınız. Bu çıkarma işlemi, devam etmek için yeni ve daha küçük dereceli bir polinom oluşturur.

Polinomlarda Uzun Bölme Adımları

1. Her iki polinomu da azalan kuvvetlere göre yazın.
2. Gerekirse eksik kuvvetler için katsayısı $0$ olan terimler ekleyin.
3. Bölünenin o andaki baş terimini bölenin baş terimine bölün.
4. Bu sonucu bölüme yazın.
5. Böleni bu bölüm terimiyle çarpın.
6. Çıkarın.
7. Bir sonraki terimi aşağı indirin ve tekrarlayın.

Terimler dereceye göre hizalanmazsa, çıkarma adımında hata yapmak çok daha kolay olur.

Çözümlü Örnek: $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ ifadesini $x - 2$'ye bölün

Bulmak istediğimiz ifade

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

Her turdaki amaç, o andaki baş terimi yok etmektir.

1. Baş terimleri bölün

$2x^3$ ifadesini $x$'e bölün:

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Buna göre bölümün ilk terimi $2x^2$ olur.

2. Çarpın ve çıkarın

$2x^2$ ile böleni çarpın:

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Bunu başlangıçtaki bölünenden çıkarın:

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Yeni baş terimle tekrarlayın

Şimdi $-x^2$ ifadesini $x$'e bölün:

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

$-x$ terimini bölüme yazın.

Çarpın:

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Çıkarın:

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Bir tur daha

$3x$ ifadesini $x$'e bölün:

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

$3$ terimini bölüme yazın.

Çarpın:

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Çıkarın:

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Böylece kalan $0$ olur ve bölüm

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Cevabınızı Nasıl Kontrol Edersiniz?

Bölümü bölenle çarpın:

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

Açarsak

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

elde ederiz; bu da başlangıçtaki bölünenle aynıdır. Bu, bölmenin doğru olduğunu gösterir.

Yaygın Hata: Eksik Bir Kuvveti Atlamak

Kurulumdaki en yaygın hata, eksik bir kuvveti atlamaktır. Örneğin, $x^3 + 4x - 1$ ifadesini $x - 1$'e bölerken, bölüneni şu şekilde yeniden yazmalısınız:

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Bu $0x^2$ yer tutucusu, her çıkarma işleminin hizalı kalmasını sağlar. Bunu yazmazsanız, sonraki terimler yanlış sütuna kayabilir.

Polinomlarda Uzun Bölme Ne Zaman Kullanılır?

Bu yöntem; çarpanlara ayırma açık değilse, bölümü ve kalanı doğrudan bulmanız gerekiyorsa veya bileşik kesirli bir ifadeyi yeniden yazmak istiyorsanız kullanışlıdır.

Ayrıca kısmi kesirlere ayırmadan önce de karşınıza çıkar. Payın derecesi paydanın derecesine en az eşitse, önce polinomlarda uzun bölme yapılır.

Kendiniz Deneyin

Şu ifadeyle kendi örneğinizi deneyin:

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Dereceleri hizalamaya ve sonucu çarparak kontrol etmeye odaklanın. Faydalı bir sonraki adım olarak, kalanın sıfır olmadığı bir örnek deneyin ve cevabı şu biçimde yazın:

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$