Division euclidienne des polynômes

La division euclidienne des polynômes est une méthode pas à pas pour diviser un polynôme par un autre à la main. Si vous connaissez la division posée des nombres, le schéma est le même : on divise le terme dominant, on multiplie, on soustrait, puis on recommence.

La règle d’arrêt est simple. On s’arrête lorsque le reste a un degré inférieur à celui du diviseur. Si le reste vaut $0$, la division est exacte.

Pourquoi la division euclidienne des polynômes fonctionne

À chaque étape, on choisit le terme du quotient qui va annuler le terme dominant actuel du dividende.

C’est pourquoi le premier calcul est toujours :

$$\frac{\text{leading term of dividend}}{\text{leading term of divisor}}$$

Une fois ce terme du quotient trouvé, on multiplie tout le diviseur par celui-ci, puis on soustrait. La soustraction produit alors un nouveau polynôme, plus petit, avec lequel on continue.

Étapes de la division euclidienne des polynômes

1. Écrivez les deux polynômes par puissances décroissantes.
2. Insérez les puissances manquantes avec un coefficient $0$ si nécessaire.
3. Divisez le terme dominant du dividende courant par le terme dominant du diviseur.
4. Écrivez ce résultat dans le quotient.
5. Multipliez le diviseur par ce terme du quotient.
6. Soustrayez.
7. Abaissez le terme suivant et recommencez.

Si les termes ne sont pas alignés par degré, il devient beaucoup plus facile de se tromper dans l’étape de soustraction.

Exemple détaillé : diviser $2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$ par $x - 2$

Nous voulons calculer

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2}.$$

À chaque étape, le but est d’annuler le terme dominant actuel.

1. Diviser les termes dominants

Divisez $2x^3$ par $x$ :

$$\frac{2x^3}{x} = 2x^2.$$

Donc le premier terme du quotient est $2x^2$.

2. Multiplier et soustraire

Multipliez $2x^2$ par le diviseur :

$$2x^2(x - 2) = 2x^3 - 4x^2.$$

Soustrayez au dividende initial :

$$(2x^3 - 5x^2 + 5x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 6.$$

3. Recommencer avec le nouveau terme dominant

Maintenant, divisez $-x^2$ par $x$ :

$$\frac{-x^2}{x} = -x.$$

Écrivez $-x$ dans le quotient.

Multipliez :

$$-x(x - 2) = -x^2 + 2x.$$

Soustrayez :

$$(-x^2 + 5x - 6) - (-x^2 + 2x) = 3x - 6.$$

4. Encore une étape

Divisez $3x$ par $x$ :

$$\frac{3x}{x} = 3.$$

Écrivez $3$ dans le quotient.

Multipliez :

$$3(x - 2) = 3x - 6.$$

Soustrayez :

$$(3x - 6) - (3x - 6) = 0.$$

Le reste est donc $0$, et le quotient est

$$\frac{2x^3 - 5x^2 + 5x - 6}{x - 2} = 2x^2 - x + 3.$$

Comment vérifier votre réponse

Multipliez le quotient par le diviseur :

$$(2x^2 - x + 3)(x - 2).$$

En développant, on obtient

$$2x^3 - 5x^2 + 5x - 6,$$

ce qui correspond bien au dividende initial. Cela confirme que la division est correcte.

Erreur fréquente : oublier une puissance manquante

L’erreur de mise en place la plus courante consiste à oublier une puissance manquante. Par exemple, si vous divisez $x^3 + 4x - 1$ par $x - 1$, vous devez réécrire le dividende sous la forme

$$x^3 + 0x^2 + 4x - 1.$$

Ce terme repère $0x^2$ permet de garder toutes les soustractions bien alignées. Sans lui, les termes suivants peuvent se décaler dans la mauvaise colonne.

Quand utiliser la division euclidienne des polynômes

Cette méthode est utile lorsque la factorisation n’est pas évidente, lorsque vous avez besoin directement du quotient et du reste, ou lorsque vous voulez réécrire une expression rationnelle impropre.

Elle apparaît aussi avant la décomposition en éléments simples. Si le degré du numérateur est au moins aussi grand que celui du dénominateur, on commence par une division euclidienne des polynômes.

À vous d’essayer

Essayez vous-même avec

$$\frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x + 3}.$$

Concentrez-vous sur l’alignement des degrés et sur la vérification du résultat par multiplication. Pour aller plus loin, essayez un cas avec un reste non nul et écrivez la réponse sous la forme

$$\text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{divisor}}.$$