参数方程——作图与化为直角坐标方程

参数方程通过用同一个参数（通常是 $t$）来表示两个坐标，从而描述一条曲线。给它作图时，要按顺序代入不同的 $t$ 值。把它化为直角坐标方程时，如果可以，就消去 $t$，然后检查转换过程中是否丢失了某些信息。

基本形式是

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

每一个 $t$ 的取值都会给出一个点 $(x,y)$。参数同时起两个作用：它既生成这些点，也告诉你曲线是按什么方向被描出的。

参数方程的含义

在直角坐标方程中，$x$ 和 $y$ 是直接相关的。在参数方程中，它们通过同一个变化的变量联系起来。

当曲线本身带有自然的运动、方向或取值区间限制时，这种差别就很重要。即使直角坐标形式画出的形状相同，它也未必能体现相同的起点、终点或描迹顺序。

如何给参数方程作图

最快且可靠的方法，是先列一个简短的数值表。

1. 先找出 $t$ 的允许范围。
2. 选取几个方便的 $t$ 值。
3. 计算对应的点 $(x,y)$。
4. 按顺序把这些点画出来。
5. 标出 $t$ 增大时的方向。

与普通作图相比，最主要的区别就在于要额外关注顺序。形状画对了但方向错了，图像仍然是不完整的。

如何把参数方程化为直角坐标方程

化为直角坐标方程，就是把 $t$ 去掉，使关系直接写成 $x$ 和 $y$ 之间的关系。

如果其中一个方程容易解出 $t$，就把这个表达式代入另一个方程。如果同时出现三角函数，利用恒等式往往更简洁。一个常见例子是

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

转换之后，要检查新方程描述的内容是否比原来的参数曲线更多。当参数范围只描出整条曲线的一部分时，就会发生这种情况。

例题：参数圆的作图与转换

考虑

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

先取几个 $t$ 的值：

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

这些点都在单位圆上。因为 $t$ 从 $0$ 变化到 $\pi$，图像从 $(1,0)$ 出发，逆时针经过 $(0,1)$，最后到达 $(-1,0)$。所以这个参数曲线是单位圆的上半圆，而不是整个圆。

现在把它化为直角坐标方程。将两个方程分别平方后相加：

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

利用 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，得到

$$x^2 + y^2 = 1.$$

这个方程表示整个单位圆。要与原来的参数曲线对应，还需要加上条件 $y \ge 0$，而且直角坐标方程仍然无法体现运动方向。

这就是关键思想：消去参数可以保留曲线的形状，但会丢失关于曲线哪一部分被描出、以及它是如何被描出的信息。

作图或转换时的常见错误

忽略参数区间

$t$ 的区间可能会把整条曲线变成其中的一段或一段弧。上面的例子中，$0 \le t \le \pi$ 只得到上半圆。

忘记方向

两个参数方程组可能产生同一组点，但描出的方向不同。如果题目要求你画参数曲线，方向是重要信息。

把直角坐标形式当成完整答案

转换后的方程可能给出了正确的形状，却遗漏了原参数范围带来的限制。一定要把转换结果与原来的 $t$ 区间进行比较。

认为消元总是很简单

有时你可以直接解出 $t$。有时需要用恒等式。还有时最清晰的最终结果，是一个关于 $x$ 和 $y$ 的关系式再加上一个限制条件。

参数方程什么时候有用

当位置自然地依赖于时间、角度或其他变化量时，参数方程就很有用。常见例子包括圆周运动、抛体运动，以及那些难以用单个 $y = f(x)$ 形式方程描述的曲线。

在微积分中它也很常见，因为速度和方向可以从一开始就直接包含在曲线的描述中。

试试类似的问题

试着做下面这个变式：

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

先判断它的形状。然后确定描出的是这条曲线的哪一部分，以及当 $t$ 增大时点是如何运动的。