Parametergleichungen — zeichnen und in kartesische Form umwandeln

Parametergleichungen beschreiben eine Kurve, indem beide Koordinaten durch denselben Parameter, meist $t$, angegeben werden. Um sie zu zeichnen, setzt man der Reihe nach Werte für $t$ ein. Um sie umzuwandeln, eliminiert man $t$, wenn möglich, und prüft dann, welche Informationen dabei verloren gehen.

Die Grundform ist

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Jeder Wert von $t$ liefert einen Punkt $(x,y)$. Der Parameter erfüllt dabei zwei Aufgaben zugleich: Er erzeugt die Punkte und gibt an, in welcher Richtung die Kurve durchlaufen wird.

Was Parametergleichungen bedeuten

In einer kartesischen Gleichung stehen $x$ und $y$ in direkter Beziehung. In einer Parametergleichung sind sie über dieselbe veränderliche Größe miteinander verknüpft.

Dieser Unterschied ist wichtig, wenn eine Kurve eine natürliche Bewegung, eine Richtung oder ein eingeschränktes Intervall hat. Selbst wenn die kartesische Form dieselbe Gestalt zeigt, muss sie nicht denselben Startpunkt, Endpunkt oder dieselbe Durchlaufrichtung zeigen.

Wie man Parametergleichungen zeichnet

Die schnellste zuverlässige Methode ist eine kurze Wertetabelle.

1. Bestimme den erlaubten Bereich von $t$.
2. Wähle einige günstige Werte für $t$.
3. Berechne die zugehörigen Punkte $(x,y)$.
4. Trage die Punkte der Reihe nach ein.
5. Markiere die Richtung, wenn $t$ größer wird.

Diese zusätzliche Beachtung der Reihenfolge ist der wichtigste Unterschied zum gewöhnlichen Zeichnen von Graphen. Eine richtige Form mit falscher Richtung ist immer noch unvollständig.

Wie man Parametergleichungen in kartesische Form umwandelt

In kartesische Form umwandeln bedeutet, $t$ zu entfernen, sodass die Beziehung direkt in $x$ und $y$ geschrieben wird.

Wenn sich eine Gleichung leicht nach $t$ auflösen lässt, setzt man diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. Wenn trigonometrische Funktionen gemeinsam auftreten, ist eine Identität oft der sauberere Weg. Ein häufiges Beispiel ist

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Prüfe nach der Umwandlung, ob die neue Gleichung mehr beschreibt als die ursprüngliche Parameterkurve. Das kann passieren, wenn der Parameterbereich nur einen Teil einer Kurve durchläuft.

Durchgerechnetes Beispiel: einen parametrischen Kreis zeichnen und umwandeln

Betrachte

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Beginne mit einigen Werten von $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Diese Punkte liegen auf dem Einheitskreis. Da $t$ von $0$ bis $\pi$ läuft, beginnt der Graph bei $(1,0)$, bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn über $(0,1)$ und endet bei $(-1,0)$. Die Parameterkurve ist also die obere Hälfte des Einheitskreises und nicht der ganze Kreis.

Nun wandeln wir in kartesische Form um. Quadriere beide Gleichungen und addiere:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Mit $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ erhältst du

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Diese Gleichung beschreibt den gesamten Einheitskreis. Damit sie zur ursprünglichen Parameterkurve passt, brauchst du zusätzlich die Bedingung $y \ge 0$, und die kartesische Gleichung zeigt immer noch nicht die Bewegungsrichtung.

Das ist die zentrale Idee: Das Eliminieren des Parameters kann die Form erhalten, aber Informationen darüber verlieren, welcher Teil der Kurve vorkommt und wie sie durchlaufen wird.

Häufige Fehler beim Zeichnen oder Umwandeln

Das Parameterintervall ignorieren

Das Intervall für $t$ kann aus einer ganzen Kurve ein Teilstück oder einen Bogen machen. Im obigen Beispiel liefert $0 \le t \le \pi$ nur den oberen Halbkreis.

Die Richtung vergessen

Zwei parametrische Systeme können dieselbe Punktmenge erzeugen, sie aber in unterschiedlichen Richtungen durchlaufen. Wenn die Aufgabe verlangt, die Parameterkurve zu zeichnen, ist die Richtung wichtig.

Die kartesische Form als vollständige Antwort ansehen

Die umgewandelte Gleichung kann die richtige Form zeigen, aber Einschränkungen aus dem ursprünglichen Parameterbereich übersehen. Vergleiche das umgewandelte Ergebnis immer mit dem ursprünglichen Intervall für $t$.

Annehmen, dass Eliminieren immer einfach ist

Manchmal kann man direkt nach $t$ auflösen. Manchmal braucht man eine Identität. Manchmal ist das sauberste Endergebnis eine Beziehung in $x$ und $y$ plus einer Einschränkung.

Wann Parametergleichungen nützlich sind

Parametergleichungen sind nützlich, wenn die Position natürlich von der Zeit, einem Winkel oder einer anderen veränderlichen Größe abhängt. Häufige Beispiele sind Kreisbewegungen, Wurfbewegungen und Kurven, die sich nur umständlich mit einer einzigen Gleichung der Form $y = f(x)$ beschreiben lassen.

Sie sind auch in der Analysis verbreitet, weil Geschwindigkeit und Richtung von Anfang an in die Beschreibung der Kurve eingebaut werden können.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Probiere deine eigene Variante mit

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Bestimme zuerst die Form. Entscheide dann, welcher Teil dieser Form durchlaufen wird und wie sich der Punkt bewegt, wenn $t$ größer wird.