Ecuaciones paramétricas — graficar y convertir

Las ecuaciones paramétricas describen una curva dando ambas coordenadas en función del mismo parámetro, normalmente $t$. Para graficarlas, sustituye valores de $t$ en orden. Para convertirlas, elimina $t$ si puedes y luego revisa qué información oculta la conversión.

La forma básica es

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Cada valor de $t$ da un punto $(x,y)$. El parámetro cumple dos funciones al mismo tiempo: genera los puntos y te indica la dirección en la que se recorre la curva.

Qué significan las ecuaciones paramétricas

En una ecuación cartesiana, $x$ e $y$ se relacionan directamente. En una ecuación paramétrica, están conectadas por medio de la misma variable cambiante.

Esa diferencia importa cuando una curva tiene un movimiento natural, una dirección o un intervalo restringido. Aunque la forma cartesiana muestre la misma figura, puede no mostrar el mismo punto inicial, punto final ni el orden en que se recorre.

Cómo graficar ecuaciones paramétricas

El método más rápido y confiable es una tabla corta de valores.

1. Encuentra el rango permitido de $t$.
2. Elige algunos valores convenientes de $t$.
3. Calcula los puntos correspondientes $(x,y)$.
4. Grafica los puntos en orden.
5. Marca la dirección a medida que $t$ aumenta.

Esta atención adicional al orden es la principal diferencia con la graficación ordinaria. Una forma correcta con la dirección equivocada sigue estando incompleta.

Cómo convertir ecuaciones paramétricas a forma cartesiana

Convertir a forma cartesiana significa eliminar $t$ para que la relación quede escrita directamente en $x$ e $y$.

Si una ecuación es fácil de despejar para $t$, sustituye esa expresión en la otra ecuación. Si aparecen funciones trigonométricas juntas, una identidad puede ser la vía más limpia. Un ejemplo común es

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Después de convertir, verifica si la nueva ecuación describe más que la curva paramétrica original. Esto puede pasar cuando el rango del parámetro solo recorre una parte de la curva.

Ejemplo resuelto: graficar y convertir un círculo paramétrico

Considera

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Empieza con algunos valores de $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Esos puntos están sobre la circunferencia unitaria. Como $t$ va de $0$ a $\pi$, la gráfica empieza en $(1,0)$, se mueve en sentido antihorario pasando por $(0,1)$ y termina en $(-1,0)$. Así que la curva paramétrica es la mitad superior de la circunferencia unitaria, no la circunferencia completa.

Ahora conviértela a forma cartesiana. Eleva al cuadrado ambas ecuaciones y súmalas:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Usando $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, obtienes

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Esa ecuación es la circunferencia unitaria completa. Para que coincida con la curva paramétrica original, todavía necesitas la condición $y \ge 0$, y la ecuación cartesiana tampoco muestra la dirección del recorrido.

Esta es la idea clave: eliminar el parámetro puede conservar la forma, pero perder información sobre qué parte de la curva aparece y cómo se recorre.

Errores comunes al graficar o convertir

Ignorar el intervalo del parámetro

El intervalo de $t$ puede convertir una curva completa en un segmento o un arco. En el ejemplo anterior, $0 \le t \le \pi$ da solo la semicircunferencia superior.

Olvidar la dirección

Dos sistemas paramétricos pueden producir el mismo conjunto de puntos, pero recorrerlos en direcciones distintas. Si el problema te pide graficar la curva paramétrica, la dirección importa.

Tratar la forma cartesiana como la respuesta completa

La ecuación convertida puede mostrar la forma correcta, pero omitir restricciones del rango original del parámetro. Siempre compara el resultado convertido con el intervalo original de $t$.

Suponer que eliminar el parámetro siempre es simple

A veces puedes despejar $t$ directamente. A veces necesitas una identidad. A veces el resultado final más claro es una relación entre $x$ e $y$ más una restricción.

Cuándo son útiles las ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas son útiles cuando la posición depende de manera natural del tiempo, del ángulo o de otra cantidad cambiante. Algunos ejemplos comunes incluyen el movimiento circular, el movimiento de proyectiles y curvas que son incómodas de describir con una sola ecuación de la forma $y = f(x)$.

También son comunes en cálculo porque la velocidad y la dirección pueden incorporarse en la descripción de la curva desde el principio.

Prueba un problema similar

Prueba tu propia versión con

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Primero identifica la figura. Luego decide qué parte de esa figura se recorre y cómo se mueve el punto a medida que $t$ aumenta.