Παραμετρικές εξισώσεις — Γραφική παράσταση και μετατροπή

Οι παραμετρικές εξισώσεις περιγράφουν μια καμπύλη δίνοντας και τις δύο συντεταγμένες ως συναρτήσεις της ίδιας παραμέτρου, συνήθως του $t$. Για να τις σχεδιάσεις, αντικαθιστάς διαδοχικές τιμές του $t$. Για να τις μετατρέψεις, απαλείφεις το $t$ αν μπορείς και μετά ελέγχεις ποιες πληροφορίες χάνει η μετατροπή.

Η βασική μορφή είναι

$$x = f(t), \qquad y = g(t).$$

Κάθε τιμή του $t$ δίνει ένα σημείο $(x,y)$. Η παράμετρος κάνει δύο δουλειές ταυτόχρονα: παράγει τα σημεία και δείχνει τη φορά με την οποία διαγράφεται η καμπύλη.

Τι σημαίνουν οι παραμετρικές εξισώσεις

Σε μια καρτεσιανή εξίσωση, τα $x$ και $y$ συνδέονται άμεσα. Σε μια παραμετρική εξίσωση, συνδέονται μέσω της ίδιας μεταβαλλόμενης μεταβλητής.

Αυτή η διαφορά έχει σημασία όταν μια καμπύλη έχει φυσική κίνηση, φορά ή περιορισμένο διάστημα. Ακόμα κι αν η καρτεσιανή μορφή δείχνει το ίδιο σχήμα, μπορεί να μη δείχνει το ίδιο σημείο εκκίνησης, το ίδιο τελικό σημείο ή τη σειρά με την οποία διαγράφεται.

Πώς να σχεδιάζεις παραμετρικές εξισώσεις

Η πιο γρήγορη και αξιόπιστη μέθοδος είναι ένας μικρός πίνακας τιμών.

1. Βρες το επιτρεπτό διάστημα του $t$.
2. Διάλεξε μερικές βολικές τιμές του $t$.
3. Υπολόγισε τα αντίστοιχα σημεία $(x,y)$.
4. Σχεδίασε τα σημεία με τη σωστή σειρά.
5. Σημείωσε τη φορά καθώς το $t$ αυξάνεται.

Αυτή η επιπλέον προσοχή στη σειρά είναι η βασική διαφορά από τη συνηθισμένη γραφική παράσταση. Ένα σωστό σχήμα με λάθος φορά παραμένει ελλιπές.

Πώς να μετατρέπεις παραμετρικές εξισώσεις σε καρτεσιανή μορφή

Η μετατροπή σε καρτεσιανή μορφή σημαίνει ότι αφαιρείς το $t$, ώστε η σχέση να γραφτεί απευθείας με τα $x$ και $y$.

Αν μία εξίσωση λύνεται εύκολα ως προς $t$, αντικατάστησε αυτή την έκφραση στην άλλη εξίσωση. Αν εμφανίζονται μαζί τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μια ταυτότητα μπορεί να είναι η πιο καθαρή λύση. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα είναι

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Μετά τη μετατροπή, έλεγξε αν η νέα εξίσωση περιγράφει περισσότερα από την αρχική παραμετρική καμπύλη. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν το διάστημα της παραμέτρου διαγράφει μόνο ένα μέρος της καμπύλης.

Λυμένο παράδειγμα: γραφική παράσταση και μετατροπή ενός παραμετρικού κύκλου

Θεώρησε

$$x = \cos t, \qquad y = \sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Ξεκίνα με μερικές τιμές του $t$:

$$t = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)$$ $$t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y) = (0,1)$$ $$t = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0).$$

Αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Επειδή το $t$ μεταβάλλεται από $0$ έως $\pi$, η γραφική παράσταση ξεκινά από το $(1,0)$, κινείται αριστερόστροφα περνώντας από το $(0,1)$ και καταλήγει στο $(-1,0)$. Άρα η παραμετρική καμπύλη είναι το πάνω ημικύκλιο του μοναδιαίου κύκλου, όχι ολόκληρος ο κύκλος.

Τώρα μετέτρεψέ το σε καρτεσιανή μορφή. Ύψωσε και τις δύο εξισώσεις στο τετράγωνο και πρόσθεσε:

$$x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t.$$

Χρησιμοποιώντας ότι $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, παίρνεις

$$x^2 + y^2 = 1.$$

Αυτή η εξίσωση είναι ο πλήρης μοναδιαίος κύκλος. Για να ταιριάζει με την αρχική παραμετρική καμπύλη, χρειάζεσαι ακόμη τη συνθήκη $y \ge 0$, και η καρτεσιανή εξίσωση πάλι δεν δείχνει τη φορά της κίνησης.

Αυτή είναι η βασική ιδέα: η απαλοιφή της παραμέτρου μπορεί να διατηρεί το σχήμα, αλλά να χάνει πληροφορίες για το ποιο μέρος της καμπύλης εμφανίζεται και πώς διαγράφεται.

Συνηθισμένα λάθη στη γραφική παράσταση ή στη μετατροπή

Αγνόηση του διαστήματος της παραμέτρου

Το διάστημα του $t$ μπορεί να μετατρέψει μια ολόκληρη καμπύλη σε τμήμα ή τόξο. Στο παραπάνω παράδειγμα, το $0 \le t \le \pi$ δίνει μόνο το πάνω ημικύκλιο.

Παράλειψη της φοράς

Δύο παραμετρικά συστήματα μπορεί να παράγουν το ίδιο σύνολο σημείων αλλά να τα διαγράφουν με διαφορετική φορά. Αν η άσκηση ζητά τη γραφική παράσταση της παραμετρικής καμπύλης, η φορά έχει σημασία.

Αντιμετώπιση της καρτεσιανής μορφής ως πλήρους απάντησης

Η εξίσωση που προκύπτει από τη μετατροπή μπορεί να δείχνει το σωστό σχήμα αλλά να χάνει περιορισμούς από το αρχικό διάστημα της παραμέτρου. Πάντα να συγκρίνεις το αποτέλεσμα της μετατροπής με το αρχικό διάστημα του $t$.

Υπόθεση ότι η απαλοιφή είναι πάντα απλή

Μερικές φορές μπορείς να λύσεις απευθείας ως προς $t$. Μερικές φορές χρειάζεσαι μια ταυτότητα. Και μερικές φορές το πιο καθαρό τελικό αποτέλεσμα είναι μια σχέση στα $x$ και $y$ μαζί με έναν περιορισμό.

Πότε είναι χρήσιμες οι παραμετρικές εξισώσεις

Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι χρήσιμες όταν η θέση εξαρτάται φυσικά από τον χρόνο, τη γωνία ή κάποιο άλλο μεταβαλλόμενο μέγεθος. Συνηθισμένα παραδείγματα είναι η κυκλική κίνηση, η κίνηση βολής και καμπύλες που περιγράφονται δύσκολα με μία μόνο εξίσωση της μορφής $y = f(x)$.

Είναι επίσης συνηθισμένες στον λογισμό, επειδή η ταχύτητα και η φορά μπορούν να ενσωματωθούν στην περιγραφή της καμπύλης από την αρχή.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με

$$x = 2 + 3\cos t, \qquad y = 1 + 3\sin t, \qquad 0 \le t \le \pi.$$

Πρώτα αναγνώρισε το σχήμα. Έπειτα αποφάσισε ποιο μέρος αυτού του σχήματος διαγράφεται και πώς κινείται το σημείο καθώς το $t$ αυξάνεται.